鱼缸鱼公式SPSS—非线性回归(模型表达式)案例

2020年10月9日发(作者：卞文忠)
SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析

非线性回归过程是用来建立因变量与 一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多
的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立 任何形式的模型
非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的 模型，用线性
回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称 之为：
本质非线性模型
还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进 行研究，前面已经研究得出：“二次曲线
模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的 增加而呈现的趋势变化”，那么“二次
曲线”会不会是最佳模型呢？
答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变
化趋势” 下面我们开始研究：
第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？”
1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型
点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：


点击确定按钮，得到如下结果：

放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线， 这条曲线更倾向于型曲线，我们来验证一
下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更 高！
点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面


在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S 两个模型，点击确定，得到如下结果：


通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度 明显高于“二次”模型的拟合
度 （0.912 >0.900）不过，几乎接近
接着，我们采用S 模型，得到如下所示的结果：

结果分析：
1：从ANOVA表中可以看出：总体误差= 回归平方和 + 残差平方和 （共计：0.782） F统
计量为（240.216）显著性SIG为（0.000）由于0.000<0.01 （所以具备显著性，方差齐
性相等）
2：从“系数”表中可以看出：在未标准化的情况下，系数为（-0.986） 常数项为2.672
所以 S 型曲线的表达式为：Y（销售量）=e^(b0+b1t) = e^(2.672-0.986广告费用）
当数据通过标准化处理后，常数项被剔除了，所以标准化的S型表达式为：Y(销售量）
= e^(-0.957广告费用）

下面，我们直接采用“非线性”模型来进行操作
第一步：确定“非线性模型”
从绘图中可以看出：广告费用在1千万——4千多万的时候， 销售量增加的跨度较大，当广告
费用超过“4千多万的时候，增加幅度较小，在达到6千多万”达到顶峰 ，之后呈现下降趋势。
从图形可以看出：它符合The asymptotic regression model (渐近回归模型)
表达式为：Y(销售量）= b1 + b2*e∧b3*(广告费用）
当b1>0, b2<0, and b3<0,时，它符合效益递减规律，我们称之为：Mistcherlich's
model

第二步：确定各参数的初始值
1：b1参数值的确定，从表达式可以看出：随着 ”广告费用“的增加，销售量也会增加，最后达
到一个峰值，由于：b2<0, b3<0 ，随着广告费用的增加：b2*e∧b3*(广告费用）会逐渐趋
向于“0” 而此时 Y(销售量）将接近于 b1值，从上图可以看出：Y(销售量）的最大值为12点
多，接近13，所以 ，我们设定b1的初始值为13
2：b2参数值确定：当Y(销售量）最小时，此时应该广告费用最小 ，基本等于“0”，可以得出：
b1+b2= Y(销售量）此时Y销售量最小，从图中可以看出：第一 个值为6.7左右，接近7这个
值，所以：b2=7-13=-6
3: b3参数值确定：可 以用图中两个分离点的斜率来确定b3的值，例如取
（x1=2.29,y1=8.71) 和（ x2=5.75, y2=12.74) 通过公式 y2-y1x2-x1=1.16，（此处
可以去整数估计值来算b3的值）

确定参数初始值和参数范围的方法如下所示：
1：通过图形确定参数的取值范围，然后在这个范围里选择初始值。
2：根据非线性方程的数学特性进行某些变换后，再通过图形帮助判断初始值的范围。
3：先使用固定的数代替某些参数，以此来确定其它参数的取值范围。
4：通过变量转换，使用线性回归模型来估计参数的初始值


第三步：建立模型表达式和选择损失函数

点击“分析”—回归——非线性，进入如下所示界面：



如上图中，点击参数，分别添加b1,b2,b3进入参数框内，在模型表达式中输入：b1 +
b2*Exp(b3*广告费用） （步骤为：选择“函数组”—算术——Exp函数），将“销售量”变量
拖入“因变量”框内
“损失函数”默认选项为“残差平方和” 如果有特需要求，可以自行定义
点击“约束”进入如下所示的界面：


点击“继续”按钮，此时会弹出警告信息，提示用户是否接受建议, 建议内容为：将采用序列二次
编程进行参数估计，点击确定，接受建议即可
参数的取值范围指 在迭代过程中，将参数限制在有意义的范围区间内，提供两种对参数范围约束
的方法：
1：线性约束，在约束表达式里只有对参数的线性运算
2：非线性约束，在约束表达式里，至 少有一个参数与其它参数进行了乘，除运算，或者自身的
幂运算
在“保存”选项中，勾选“预测值”和“残差”即可，点击继续
点击“选项”得到如下所示的界面：


此处的“估计方法”选择“序列二次编程”的方法， 此方法主要利用的是双重迭代法进行求解，每一步迭代都建立一个二次规划算法，以此确定优化的方向，把估计参数不断的带入损失函数进行
求值 运算，直到满足指定的收敛条件为止
点击继续，再点击“确定”得到如下所示的结果：


上图结果分析：
1：从“迭代历史记录”表中可以看出：迭代了17次后，迭代被终止，已经找到最优解
此方法是不断地将“参数估计值”代入”损失函数“求解， 而损失函数采用的是”残差平方和“最小，
在迭代17次后，残差平方和达到最小值，最小值为（6.778）此时找到最优解，迭代终止
2：从参数估计值”表中可以看出：
b1= 12.904 （标准误为0.610，比较小，说明此估计值的置信度较高） b2=-11.268 （标
准误为：1.5881，有点大，说明此估计值的置信度不太高） b3=-0.496（标准误为：0.138，
很小，说明此估计值的置信度很高）
非线性模型表达式为：Y(销售量）= 12.904-11.268*e^(-0.496*广告费用）
3：从“参数估计值的相关性”表中可以看出：b1 和 b3的相关性较强，b2和b1或b3的相关
性都相对弱一些，其中b1和b2的相关性最弱
4：从anova表中可以看出：R方 = 1- （残差平方和）（已更正的平方和） = 0.909， 拟
合度为0.909，说明此模型能够解释90多的变异，拟合度已经很高了
前面已经提到过，S行曲线的拟合度更高，为（0.916）那到底哪个更合适呢？ 如果您的
数据样本容量够大，我想应该是“非线性模型”的拟合度会更高！
其实想想，我们是否可以将“非线性”转换为“线性”后，再利用线性模型进行分析了？ 后期有
时间的话，将还是以本例为说明，如何将“非线性”转换为“线性”后进行分析！！