衍射条纹间距公式(整理)参数方程和普通方程的互化.

2020年10月9日发(作者：谈修)
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参数方程和普通方程的互化

教学目标
1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的．
2．基本掌握消去参数的方法．
3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”
训练中，提高学生 解决数学问题的转化能力．
教学重点与难点
使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则 ，明确新旧知识之间的联
系，掌握消去参数的基本方法．
教学过程
师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投
影片)
由 圆外一点Q(a，b)向圆x
2
+y
2
=r
2
作割线，交圆 周于A、B两点，求AB中点P
的轨迹的参数方程(如图3-5)．

分析 割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为：
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此斜率k可作为参数．(投影)
解 设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的



即为所求点P的轨迹的参数方程．
师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？
生：(无言以对)看不出来．
(启发学生猜想，培养参与意识．)
师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状．
(学生在纸上画，讨论．)
生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线．
师：参数方 法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变
量之间的间接联系的方法．也就是说，参 数方程里的参数可以协调x、y的变化．基
于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质 ，需要把参数方程
化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，
再去研究它的几何性质就容易了．

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把(3)代入(2)得：x
2
-ax+y
2
-by=0．(4) < br>方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心
的圆弧(在圆x2
+y
2
=r
2
的内部)．
师：以上事例说明，有时 为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实
需要把参数方程化为我们认知的普通方程．这节课我们 就来学习把参数方程化为
普通方程的法则．
例1 炮弹从点(0，0)以初速度v
0
向倾斜角为α的方向发射，问：(1)在时
刻t的高度和水平距离如何？(2)炮弹描绘的( 弹道)是一条什么样的曲线？
(学生通过物理知识，很容易解决这个问题．)
解 (1) 设炮弹发射后的位置在点M(x，y)(如图3-6)，因为炮弹在Ox方向
是以v
0
cosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以v
0
sinα为初速度的竖直上
抛运 动，所以按匀速直线运动的公式知：炮弹在时刻t的水平距离是x=v
0
cosα·t，
按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时



即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？
生：消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了．
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故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．(含顶点在内的 一部分．因为二次项系数
是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．)
例2 把参数方程



即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线．
师：这个同学理解了消参 的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代
入消元法相类似．他用学过的知识解决了新问题．你认 为他的解题过程有问题
吗？
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生：挺好的．我与他解的一样，没问题．
师：同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗？
生：t为不等于-1的实数，即t≠-1．
师：答案是否有何不妥？
生：没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线．
师：普通方程是相对于参数方程而言的，它反映 了坐标变量x与y之间的直
接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系．如能消 去
参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程)，参数方程就转化为普通方程，所
以普通方程 和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式．为此，在化参数方程
为普通方程时，必须注意变数的范围 不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不
应增加也不应减小．这就要求参数方程和消去参数后的普通方 程等价．请修正一
下你的答案．
生：3x+5y-11=0(x≠-3)是所求的普通方程， 它的轨迹是一条直线(去掉点
(-3，4))．
师：观察一下方程(1)、(2)的形式与你 学过的知识中哪个式子类似？(提供
类比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关 ．)

至此，想必学生悟到t的几何意义：动点P分P
1
P
2所成的比，即t=



解 过点(2，1)，(-3，4)的直线方程是：
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化简，得3x+5y-11=0．
师：这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的．




师：例2表明，直线的参数方程的形式不只一种．那么对同一个参数方程来
说，指定 的参数不同，会带来曲线的形状不同吗？你试试看．(激发学生探索问
题的兴趣)




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生：对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化．
例4 化下列参数方程为普通方程．



(让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案．)
略解 (1)(x+1)
2
+y=sin
2
θ+cos
2
θ，
所以 (x+1)
2
+y=1，(0≤y≤1)．

所以x
2
-y
2
=4．

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师：消去参数的方法常用的有哪些？转化过程中应注意什么？
(学生讨论后教师板书)
消去参数的方法常用的有以下两种：
(1)代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(如例1)．
(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．(如例4)
转化过程中应注意参数的范围不 能扩大也不能缩小．也就是对应曲线上的
点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等 价．

师：方程组中有3个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；θ是参变量．参
数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求
出相应的x与y的值， 因而也就确定了这时点所在的位置．所以问题可转化为讨
论当θ为何值时，点P到直线的距离最小问题．


因为tanθ、cotθ同号，

又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|，
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从例5的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主 要对象的根本
性质．这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解
决 某些问题有不可替代的优越性．
师：这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则．
首先 通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何
性质，需要把参数方程化为普通方 程．又在将参数方程化为普通方程的过程中，
掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参 数后所得的普通方程
为什么要等价．
家庭作业：
一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．




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二、关于t的方程t
2
+(2+i )t+4xy+(2x-y)i=0(x，y∈R，i是虚数单位)有实
根，求动点P(x，y)的轨迹 的普通方程．
下面是作业题略解．
一、(1)(x-x
0
)
2< br>+(y-y
0
)
2
=t
2
，
以(x
0
，y
0
)为圆心，|t|为半径的圆．
(2)y -y
0
=tanθ(x-x
0
)，过点(x
0
，y
0
)，斜率是tanθ的直线．
(3)2x+y-5=0(0≤x＜3)，缺一个端点的线段．
(4)y
2
-x
2
=4(y≥2)，双曲线的上支．
二、已知方程整理为：
(t
2
+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0
因为x，y，t∈R，

得4x
2
+y
2
+4x-2y=0为所求．
设计说明 < br>参数方程与普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容：参数方
程化为普通方程．对这 一问题课本仅用3／2页的篇幅介绍了互化的方法共3个
例题．纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对 参数方程进行了初步研究．而事
实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基 础，在
生产实践中也有广泛的应用．我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，
但是学习 参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助．更有一类问题，看来不是参
数方程，而实质上是参数方程问题 ．


这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线．
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这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程．本来我们应该先把对应直
线的交点求出来：

这就是所求轨迹的参数方程．为了求x、y的方程而消t的话，可以照这样
进行：






数学中的参数好像是一种活泼的元素 ，有它的时候可以添一些麻烦，但这麻
烦却多半是有趣的现象．它能使一些问题化繁为简．故活用参数，

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问题，常规解法是：





这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点( cosθ，sinθ)和定点(1，2)
直线的斜率取值范围问题．动点P(cosθ，sinθ)的轨 迹是以坐标原点为圆心，
1为半径的圆(挖去(1，0)点)．如图3-7知：


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北京市陈经纶中学

纪小华)

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