圆柱形的体积公式Bayes公式

2020年10月9日发(作者：孙肇卿)
引例：某专业有甲乙两班，人数分别是60人与50人，他们都参加了英语考试，
甲班和乙班的 合格率分别为95%和90%. 试求该专业学生英语考试的合格率.
分析与解答：
因为两班的人数不同，所以不能直接把两个班的合格率作算术平均作为本题
答案. 我们可以先求出两个班本课程的全部合格人数：

然后再求出该专业本课程的合格率
这种算法等价于把各班的合格率按该班人数占总人数的比例作加权平均，即

设
B
={该专业学生英语考试合格}

A1
={学生来自甲班}，
A2
={学生来自乙班}
由题目的条件可知：


于是本题的求解可用公式表示为：
这就是全概率公式。


利用全概率公式可以把复杂的事件的概率化为互斥的简单事件的概率来计
算. 定理1 对任一 事件
A,
若有互不相容的事件
B
i
(
i
=1,2, …,
n
),满足
P
(
B
i
)>0,(
i< br>=1,2,…,
n
)且 ，则事件
A
的概率可用下式计算：
. 此概率称为全概率公式.



例1～例2


例1：有十个袋子，各袋中装球的情况如下：
（1）两个袋子中各装有2个白球与4个黑球；
（2）三个袋子中各装有3个白球与3个黑球；
（3）五个袋子中各装有4个白球与2个黑球.
任选一个袋子，并从其中任取2个球，求取出的2个球都是白球的概率.
解： 设
A
={取出的2个球都是白球},
B
i
={所选袋子属于第
i
种情况},(
i
=1,2,3)，
则


由全概率公式得


例2： 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽 样
检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中
有次品，则认为这批产品是不合格的． 假定每一批产品中的次品最多不超过4
个，并且其中恰有
i
（
i
=0 ，1，2，3，4）个次品的概率如下：
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求一批产品能通过检查的概率．
解：设 事件
B
i
={一批产品中有
i
个次品},(
i
=0 ,1,2,3)，则
P(B
0
)
=0.1
，P(B
1)
=0.2
，P(B
2
)
=0.4
，P(B
3
)
=0.2
，P(B
4
)
=0.1
设事件
A
={一批产品能通过检查}，即抽样检查的10个产品都是合格品，则






例3：有朋友自远方来,他 坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3、0.2、
0.1和0.4,而他坐火车、坐船、坐 汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25、0.3、
0.1和0,实际上他迟到了,请推测他坐哪种交通 工具来的可能性最大.
解：设
B
1
={他坐火车来},
B
2
={他坐船来},
B
3
={他坐汽车来},
B
4
={坐飞机来},
A
={他
迟到}. 则
P(B
1
)
=0.3
, P(B
2
)
=0.2
, P(B
3
)
=0.1
, P(B
4
)
=0.4
,

P(A
|
B
1
)
=0.25
, P(A
|
B
2
)
=0.3
, P(A
|
B
3
)=
0.1
, P(A
|
B
4
)
=0.
由全概率公式得

=0.145
再由Bayes公式分别可以算得

同理，



可见，
P(B
1
|
A)
=0.517 2最大,即他是坐火车来的可能性最大.
例4：临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的 效果，对癌症患者
进行试验结果呈阳性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总
数的0.4%， 求:
(1)

试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；
(2)

试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.
解：设 事件
A
={试验结果呈阳性反应},事件
B
={被检查者确实患有癌症},则 按题
意
有
P(B)
=0.004
,P(A
|
B)
=0.95
,P(A
|

|
B)
=0.05
, P(A
|

)
=0.96.由此可知：
P(

)
=0.996
, P(

)
=0.04.于是,由全概率 公式得
P(A)
=0.004×0.95+0.996×
)
=1-
P(A)=
0.95636. 按Bayes公式得0.04=0.04364，从而
P(



这 表明试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率并不大,还需要进一
步检查才能确诊;但试验结 果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率很大.