圆弧周长公式定积分计算策略选择思路

2020年10月10日发(作者：萧思明)
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定积分计算策略选择思路

作者：吴文前

来源：《理科爱好者(教育教学版)》2018年第02期

【摘 要】积分学是高等数学里面一个重要的知识内容，关于积分的计算方法，主要有换
元法、分部积分法等常 规方法。拿到任何一道积分题，学生应该如何分析？应该如何选择方
法？在长期的教学过程中，我总结出 以下的三个必要环节：第一步心中先要明确解决积分问题
的入门简单方法；第二步是观察结构，善用技巧 ，简单快捷解决问题；第三步抓题目明显特
征，选择常规方法。只有这三个环节依次考虑到了，问题才比 较容易解决。但是学生的思维常
常是一来就考虑常规解法，所以在教学中要引导学生转换思路，从最容易 切入的门槛进入，才
能通过最简单的方法快速解决问题。所以在平时的教学中要有意识对学生进行这方面 的训练，
以便达到清晰思路，解决问题的目的。
【关键词】高等数学；定积分；图像法；换元法；分部积分法
【中图分类号】G633 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0008-02
关于定积分的 计算，书上的常规方法是：换元法，分部积分法[1]。但是在实际计算中我
们可以走这样一条路径来选 择解决定积分问题的方法，目的就是找到最简单快捷的解决方法：
第一步：看可不可 以利用图像法来解决问题：也就是利用定积分的几何意义——曲边梯形
的面积来解决问题。
第二步：看可不可以利用上“偶倍奇零”的化简公式来解决对称区间上的积分。
第三步：看可不可以利用“瓦里斯公式”来快速简便解决区间上三角函数的定积分。
第四步：在前面三步都无法使用的情况下，再来考虑使用换元法或者分部积分法。
下面举例说明上述四个程序走向在解题过程中的实际应用。
例1：计算：
分析：此题目明显符合采用三角换元的特征，当然令x=asint完全可以解决此题。但是如
果我们考 虑到被积函数的图像特征，而采用定积分的几何意义来做，就非常简单了[2]。
解：被积函数是以原点为圆心，半径为a的四分之一圆，图像在第一象限。
∴