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特异危险度公式巧用抛物线的对称性

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-10 09:14
tags:抛物线的对称轴公式

力明科技学院-汉语言文字学

2020年10月10日发(作者:郑汉浩)
巧用抛物线的对称性

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)是轴对称图 形,对称轴是
平行y轴的直线,利用其对称性特点寻求解题途径,往往会
出现意想不到的效果.

(1) 抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴为:直线x=h;
(2) 若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1,0),(x2,
0),则对称轴为:直线x= ;
(3) 若抛物线经过点(m,p),(n,p),则对称轴为:
直线x= .
一、 在表格中寻找对称点巧用抛物线的对称性
例1 (2014?山东枣庄)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠
0)的x、y的部分对应值如下表:
则该二次函数图像的对称轴为( ).
A. y轴 B. 直线x=
C. 直线x=2 D. 直线x=
【分析】依据表格发现,当x=1和x=2时的函数值相等 ,
所以点(1,-1)和点(2,-1)是抛物线上的两个对称点,
从而可求出对称轴.
解:∵x=1和2时的函数值都是-1,
∴对称轴为直线x= ,即x= .
因此选D.
【反思】抛物线是轴对称图形,所以在用描点法画函数
图像时 ,在列表过程中,往往依据其对称性来选取一些适当
的值.同样在分析二次函数对应的表格时,首先要观 察其中是
否有对称点,这样可以让解题变得更简单.
二、 在图像中寻找对称点巧用抛物线的对称性
例2 抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分 如图1所示,那
么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是( ).
A. ,0 B. (1,0)
C. (2,0) D. (3,0)
【分析一】因为解析式中只 有一个待定系数a,所以由
图像上的一个已知点(-3,0)代入即可确定解析式,从而求
出交 点坐标.
解一:将(-3,0)代入y=ax2+2ax+a2+2中,得9a-6a+a2+ 2=0,
解得a=-1或a=-2.
当a=-1时,y=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),与x轴交点的坐
标是(-3, 0)、(1,0);
当a=-2时,y=-2x2-4x+6=-2(x+3)(x-1),与x轴交点的
坐标是(-3, 0)、(1,0).
因此抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是(1,0).
【分析二】由图像知抛物线与x轴的一个交点为(-3,0),
由于抛物线与x轴的两个交点是对称点, 因此要求抛物线与
x轴的另一个交点,只要能确定对称轴即可.
解二:因为y=ax2+2ax+a2+2,配方得y=a(x+1)2+a2-a+2,
所以对称轴为x=-1,得另一交点为(1,0).
【反思】显然解法二要比解法一简 单得多,解法二就是
抓住抛物线的对称性,让问题变得清晰,让解法变得简单.
例3 (2014?江苏扬州)如图2,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)
的对称轴是过点(1,0)且 平行于y轴的直线,若点P(4,
0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为________.
【分析】根据题意可确定抛物线的对称轴,其中点P是
抛物线与x轴的一个交点,结合图像 能确定另一个交点的坐
标,而这个点恰好是代数式4a-2b+c所必需的x=-2的值.
解:设抛物线与x轴的另一个交点是Q.
∵抛物线的对称轴过点(1,0),抛物线与x轴的一个交
点是P(4,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点Q(-2,0).
把(-2,0)代入解析式得:0=4a-2b+c,
∴4a-2b+c=0.
故答案为:0.
【反思】本题考查了抛物线的对称性,知道抛物线与x
轴的一个交点和 对称轴,我们就能够表示出抛物线与x轴的
另一个交点,求得另一个交点坐标是本题的关键.
三、 借助特殊点位置关系巧用抛物线的对称性
例4 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点 A(-2,7),B(8,
7),C(5,-5),则此抛物 线上纵坐标为-5的另一个点D的
坐标是________.
【分析】由A(-2,7 ),B(8,7)两点的纵坐标相同,
知A,B两点是抛物线上的对称点,可求得对称轴.又因为D点与C点的纵坐标相同,所以C,D两点也是抛物线上的对
称点,从而解得答案.
解:因为A(-2,7)、B(8,7)两点的纵坐标相同,
所以A、B两点是抛物线上的对称点,对称轴为直线x= ,
即直线x=3.
又因为C、D两点的纵坐标相同,所以C、D两点也是抛
物线上的对称点.
设D点坐标为D(m,-5),得3= ,所以m=1.因此D的
坐标是(1,-5).
【反思】常规解法是根据三点坐标用待定系数法设函数
关系式,即建立三元一次方程组,再解方程组,从 而得到函
数关系式,然后将y=-5代入,即可求得D点坐标,显然解题
过程较复杂.给出的解 法巧妙地两次运用抛物线的对称性,极
大地降低了运算难度.同学们要养成细心审题的好习惯,理解题意,寻找更好、更巧的解题方法.
四、 数形结合,画出图像巧用抛物线的对称性
例5 (2014?台湾)已知a、h、k为三数,且二次函数
y=a(x-h)2+k在 坐标平面上的图像通过(0,5)、(10,8)
两点.若a<0,0 A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【分析】先画出抛物 线的大致图像,根据顶点式得到抛
物线的对称轴为直线x=h,由于抛物线过(0,5)、(10,8)
两点.若a10-h,然后解不等式进行判断. 解:∵抛物
线的对称轴为直线x=h,
而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上,
∴h-0>10-h,解得h>5.
故选D.
【反思】依据题意 画出函数图像是解题的关键,数形结
合,再借助抛物线的对称性能让问题得到巧妙解决.
五、 借助二次函数图表点的对称性巧解不等式
例6 (2014?江苏南京)已知二次函数y=ax2+bx+c中,
函数y与自变量x的部分对应值如表:
则当y<5时,x的取值范围是________.
【分析】根据表格数据,利用 二次函数的对称性判断出
x=4时,y=5,然后写出y<5时x的取值范围即可.
解:由表可知,二次函数的对称轴为直线x=2,所以当
x=4时,y=5.
所以,当y<5时,x的取值范围为0 【反思】本题考查了 二次函数与不等式的相互关系,借
助图表利用二次函数图像的对称性,得到y=5时的另一个x
的值是解题的关键.
六、 解决实际问题过程中巧用抛物线的对称性
例7 某 市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,
房子的价格y(元平方米)随楼层数x(楼)的变化而变 化
(x=1,2,3,
4,5,6,7,8).已知点(x,y)都在一个二次函数的
图像上(如图4所示),则6楼房子的价格为________
元平方米.
【分析】根据抛物线的对称性,x=2和6时的函数值是
相等的.
解:观 察图像,抛物线的对称轴是直线x=4,所以当x=2
和x=6时,函数值相等,即6楼房子的价格与2 楼房子的价
格相等,为2 080元平方米.所以本题应填2 080.
【反思】仔细阅读图像,在图像上获取有用信息是解题
的关键.
例8 (2012?山 东济南)如图5,济南建邦大桥有一段
抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自 行车
从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强
骑自行车行驶10秒和26秒时 拱梁的高度相同,则小强骑自
行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒.
【分析】由条件当行驶到10秒和26秒时拱梁的高度相
同,我们要想到此时这两个位置的点关于对称轴 对称.
解:如图6,设在10秒时到达A点位置,在26秒时到
达B点位置.
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同,
∴A,B关于对称轴对称.
又∵从A到B需要26-10=16(秒),
∴从A到D需要8秒,
又∵O到D需要10+8=18(秒),
∴从O到C需要2×18=36(秒).
即小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒.
【反思】与二次函数有关的实际问题中, 构建二次函数
模型,并利用二次函数的性质,特别是借助图像,巧用对称
性常常让问题很顺利地 得以解决.
(作者单位:江苏省泗阳县实验初级中学)

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