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高中三角函数公式大全
[ 图 ]
1 三角函数的定义 1.1
三角形中的定义
图 1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形
ABC，如下定义六个三角函数：
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
1.2 直角坐标系中的定义
图 2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
正弦函数
余弦函数
r
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
2 转化关系 2.1
倒数关系
2.2 平方关系
2 和角公式
3 倍角公式、半角公式
3.1 倍角公式
3.2 半角公式
3.3 万能公式
4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式
证明过程
首先， sin(
α+β)=sin
αcosβ+sin β（cos已证α。证明过程见
《
和角公式与差角公式的证明
》）
因为
sin( α+β)=sin αcosβ+sinβ（cos正弦α和角公式）
则
sin( -αβ)
=sin[
α-+(β )]
=sin
α cos(-β )+sin(-β )cos
α
=sin
α cos-sinβ β cos α
于是
sin(
α-β )=sin α cos-sinββ cos（α正弦差角公式）
将正弦的和角、差角公式相加，得到
sin(
α +β )+sin(-β )=2sinα
α cos
β
则
sin α cosβ =sin( α +β )2+sin(-β（“α积化和差公式
”之一）
同样地，运用诱导公式
cosα=sin( π-2α)，有
cos( α +β )=
sin[ π-(2α +β )]
=sin( π-2α-β)
=sin[(
π-α2 )+(-β )]
=sin( π-2α )cos(-β )+sin(-β )cos( π-α)2
=cos α cos-sinβ α sin β
于是
cos( α +β )=cos α-cossinβα sin（β余弦和角公式）
那么
cos( α-β)
=cos[ α +(-β )]
=cos α cos(-β)-sin α sin(-β)
=cos α cos β +sin α sin β
cos( α-β )=cos α cosβ +sin （α余sin弦β差角公式）
将余弦的和角、差角公式相减，得到
cos( α +β)-cos( α-β )=-2sin α sin β
则
sin α sin β =cos(-β α)2-cos( α +β（)2“积化和差公式 ”之二）
将余弦的和角、差角公式相加，得到
cos( α +β )+cos(-βα)=2cos α cos β
则
cosα cosβ =cos( α +β )2+cos(-β（α“积化和差公式 ”之三）
这就是积化和差公式：
sin α cosβ =sin( α +β )2+sin(-β α
sin α sin β =cos(-β α)2-cos( α +β )2
cosα cosβ =cos( α +β )2+cos(-β α
4.2 和差化积公式
部分证明过程：
sin( -αβ )=sin[
α-β+()]=sin α-cos(β)+sin(-β )cos α =sin α-sincosβcos α
cos( α +β )=sin[90-(α +β )]=sin[(90-α)-β ]=sin(90-α )cos- sinβ β cos(90-α )=cos α cos-sinβα sin β
cos( α-β )=cos[
α-β+()]=cos α cos(-β)-sin α sin(-β )=cos α cos β +sin α sin β
tan( α +β )=sin( α +β )cos(
α +β )=(sin α cos β +sin -βsincosααsin)(cosβ)=(cosαcosαβtan α cos β +cos β tan β cos- α )(cos
cos α tan α cos β tan β )=(tan
α-+tanαβtan)(1β)
tan( -αβ )=tan[
α-β+()]=[tan α +tan(-β)][1-tan α tan(-β )]=(tan -tanα β )(1+tan α tan β)
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi2-a)=cos(a)
cos β
α
cos(pi2-a)=sin(a)
sin(pi2+a)=cos(a)
cos(pi2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinAcosA
两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(
α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))(1+tan(a)tan(b))
三角函数和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)2)cos((a-b)2)
sin(a)-sin(b)=2cos((a+b)2)sin((a -b)2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)2)cos((a-b)2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)2)sin((a-b)2)
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-12*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=12*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=12*[sin(a+b)+sin(a-b)]
二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos^2(a) -sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
半角公式
sin^2(a2)=(1-cos(a))2
cos^2(a2)=(1+cos(a))2
tan(a2)=(1-cos(a))sin(a)=sin(a)(1+cos(a))
万能公式
sin(a)= (2tan(a2))(1+tan^2(a2))
cos(a)= (1-tan^2(a2))(1+tan^2(a2))
tan(a)= (2tan(a2))(1-tan^2(a2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [
tan(c)=ba]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [
tan(c)=ab]
1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))^2
1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1sin(a)
sec(a)=1cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))2
tgh(a)=sinh(a)cosh(a)
常用公式表（一）
1。乘法公式
其中，
其中，
（ 1）（a+b）2=a
2
+2ab+b
2
(2)(a-b)
2=a2-2ab+b2
(3)(a+b)(a-b)=a2
-b 2
(4)a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)
(5)a
3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2)
2、指数公式：
1
（2）a = a
PP
n
(1)a =1 （ a≠0）
0
（a≠0）
a
m
mmn
（
3
）
a=
a
（4）a
m
a
n
=a
m n
nn n
（5）a
m
÷a
n
=
a
n
=a
m n
a
n
（ 6）（a
m
）
n
=a
mn
a
n
（ 7）（ab） =a b
（8）（
） =
（ 10） a
2
=|a|
3、指数与对数关系：
b
b
b
n
（9）（ ） =a
a
2
b
（1）若 a
=N，则
b log
a
N
（2）若 10
=N，则 b=lgN
（ 3）若
e
b
=N，则 b=㏑ N
4、对数公式：
b
（ 1）
log
a
a
b
b
,
ln N
ln a
M
㏑ e
=b
（ ）
4
（
2
）
a
log aN
N
，e
e
ln N
=N
ln M
（3）
log
a
N
a
b b ln a
（ ）
5
ln MN
ln N
（6）
M
ln
N
ln
ln
N
（ ）
n
7
ln M
n ln M
（ ）㏑
n
M
=
1
M
8
n
ln
5、三角恒等式：
（1）（Sin α）2+（Cosα）2=1
（2）1+（tan α）2=(sec α) 2
（3）1+(cot α ) 2=(csc α) 2
（4）
sin
cos
tan
（ ）
cos
5
sin
cot
（6）
cot
1
tan
（ ）
1
（7） csc
8
sec
cos
6、特殊角三角函数值：
1
cos
α
0
6
4
3
3
2
2
2
sina
0
1
2
2
2
3
2
1
0
--1
0
cosa
1
3
2
0
3
3
2
2
1
1
0
--1
0
1
2
tana
∞
0
-- ∞
0
3
cota
∞
3
1
3
3
0
-- ∞ 0
∞
7. 倍角公式：
（ 1） sin 2
2 sin
cos
（ 2） tan 2
2 cos
2
2 tan
1
tan
2
（ 3）
cos 2
cos
2
sin
2
1 1
2 sin
2
8. 半角公式（降幂公式）：
1
cosa
（ 1）（
sin
）
2
=
2
2
1
2
（2）（
cos
） =
2
cosa
2
1
cosa
（ 3）
tan
sin a
=
sin a
2
=
1 cosa
9、三角函数与反三角函数关系：
（1）若 x=siny ，则 y=arcsinx
（ 2）若 x=cosy，则 y=arccosx
（ 3）若 x=tany ，则 y=arctanx
（4）若 x=coty ，则 y=arccotx
10、函数定义域求法：
1
（
（1）分式中的分母不能为
0，
（ 2）负数不能开偶次方，
（3）对数中的真数必须大于 0，
a
α≠ 0）
（
a
（
log
a
N
α≥ 0）
N>0 ）
（ 4）反三角函数中 arcsinx ，arccosx 的x满足：（ --1 ≤x≤1）
（5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
11、直线形式及直线位置关系：
（ 1） 直线形式：点斜式：
y
斜截式： y=kx+b
y
0
k x x
0
y
两点式：
y
1
y
1
x
x
2
x
1
x
1
y
2
（ 2）直线关系：
l
1
: y
k
1
x b
1
平行：若
l
1
l
2
，则
k
1
垂直：若
l
1
l
2
，则
k
1
k
2
l
2
: y k
2
x b
2
k
2
1
常用公式表（二）
1、求导法则：（1）（ u+v） =u +v
（ 3）（cu ） =cu
（ 2）（u-v ） =u -v
（5）
（4）（uv） =uv
+u v
u
u v
uv
v
x
a 1
v
2
x
2、基本求导公式：
a
（ 1）（c） =0
（ 2）（ x
） =ax
（3）（ a
） =a
lna
1
1
（4）（e
）
=e
x
x
a
（
5
）（㏒
x
）
=
x ln a
（
6
）（
lnx
）
=
x
（7）（ sinx ） =cosx
（8）（cosx ） =-sinx
1
（ 9）（tanx ） =
(cos x)
2
1
2
=（secx ）
2
2
（ 10）（cotx ） =-
(sin x)
=- （cscx ）
(11)(secx)
=secx*tanx
(12)(cscx)
=-cscx*cotx
1
2
1
x
1
2
(13)(arcsinx)
=
1
x
(14)(arccosx)
2
=-
1
1
=
1
x
(15)(arctanx)
(16)
arc cot x
1
x
2
3、微分
（ 1）函数的微分： dy=y dx
（2）近似计算： |
00
x| 很小时， f
x
0
x
=f （x
）+f
（ x ） *
x
4、基本积分公式
（1）
kdx=kx+c
（ 2） x
a
dx
1
x
a 1
C
a
1
x
1
（3）
x
dx ln x
c
（ 4）
a
x
dx
a
C
ln a
（5）
e
x
dx e
x
c
（6） sin xdx
（ ）
8
cos x C
（7）
cosxdx
sin x
C
sec
2
xdx
csc xdx
2
1
2
1
dx
tan x
C
cos
x
2
dx
cot x
c
（9）
sin
x
1
1 x
2
dx
arcsin x
b
c
（ 10）
（11）
1
1
x
2
dx
arctan x
c
b
c
b
5、定积分公式：
（1）
a
b
a
f ( x)dx
f (t )dt
a
f (x)dx
c
a
0
a
（2）
a
b
（3）
f x dx
a
b
f x dx
（ ）
4
a
f (x)dx
f ( x)dx
f ( x)dx
a
a
（5）若 f （ x）是 [-a,a]
的连续奇函数，则
（6）若 f （ x）是 [-a,a]
f ( x)dx
0
的连续偶函数，则 :
a
a
a
f ( x)dx 2
0
f (x)dx
6、积分定理：
（ 1）
x
a
f t dt
f x
2
b x
a x
f t dt
f b x b x
b
f a x a x
f (x)dx
F (x)
a
b
F (b) F (a)
（3）若F（ x）是 f（x）的一个原函数， 则
a
7. 积分表
1
secxdx ln secx
tan x
C
2
cscxdx ln cscx
cot x C
1
1
x
3
a
2
5
2
x
2
dx
1
a
2
x
C
a
arctan
a
a
a
C
C
4
x
2
dx arcsin
a
1
2
dx
1
ln
x
x
a
2a
x
8．积分方法
ax
b
；设：
ax
1 f
x
b
t
2 f
x
f
x
f
x
a
2
x
2
a
2
x
2
；设： x
a
2
；设： x
x
2
；设： x
udv uv
a sin t
a sect
a tan t
vdu
3
分部积分法：
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