二中二公式三角形的重心的性质

2020年10月10日发(作者：曹东扶)

三角形的重心的性质
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点 坐标的算术平均，即其坐标为
((X1+X2+X3)3,(Y1+Y2+Y3)3)；空间直角坐标系 ——横坐标：(X1+X2+X3)3纵坐
标：(Y1+Y2+Y3)3竖坐标：（Z1+Z2+Z3） 3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。
三角形的外心的性质
1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2三角形的外接 圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，
但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角 形的外心重合。
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角
形的外心与斜边的中点重合
=OB=OC=R
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
6.S△ABC=abc4R
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的内心的性质
1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
1 3


2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
3.r=2S(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)2．
5.∠BOC = 90 °+∠A2∠BOA = 90 °+∠C2∠AOC = 90 °+∠B2
6.S△=[(a+b+c)r]2 (r是内切圆半径)
三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
三角形的垂心的性质
1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三
角形的垂心在三角形外
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三
角形的垂心
3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上
4.△ABC中，有六组四点共圆， 有三组(每组四个)相似的直角三角形，且
AO·OD=BO·OE=CO·OF
5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样
的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过 O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则
ABAP·tanB+
ACAQ·tanC=tanA+tanB+tanC
8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△A BC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，
∠BCO=∠HCA。10.锐角三 角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接
圆半径之和的2倍。
2 3


11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点< br>在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
3 3