平面向量数量积公式二维傅里叶变换

2020年10月10日发(作者：姚崇)
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二维傅里叶变换
一．二维傅里叶变换的定义
二维傅里叶变换：




















二维傅里叶逆变换：





















原理解释：
二维傅里叶变换的具体积分区间取决于函数
f(x ,y)
的定义域。
x，y
的积分顺序可交换，
因此对
f(x,y)< br>做二维傅里叶变换，相当于对两个方向分别做一维傅里叶变换，此外，傅里叶
变换的一大特点就是 它是线性变换，即信号线性组合的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换
的线性组合。
离散傅里叶变换：
由于实际信号通常位离散信号，且处理的信号也不可能是无限长的。因此对 离散二维信
号的处理使用的是离散二维傅里叶变换。
离散二维傅里叶变换：





























离散傅里叶逆变换为























傅 里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的
叠加。一维的傅里叶 变换表示的含义是，原信号变换为不同频率的正弦波信号的线性组合。
而推广到二维，则表示将原信号变 换为复平面上不同方向和频率的正弦波信号的线性组合。
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变换结果中，越靠近原点，频率越低，越远离原点，频率越高

在图像处理中，对图 像的二维离散傅里叶变换将图像从图像空间变换到频域空间，从而
可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。 坐标轴意义是频率，越靠近原点，频率越低，对应于
图像中像素值变化速度比较慢的部分；越远离原点， 频率越高，对应于图像中像素值变化速
度快的那部分。对图像作二维离散傅里叶变换，得到的结果一般来 说靠近原点周围比较亮，
远离原点比较暗，也就是这张图像里低频部分的分量多，高频部分的分量少，原 因是图像大
部分都是颜色相近，灰度相近的区域。

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二．二维傅里叶变换的性质

1. 线性定理





















2. 空间缩放





3.位移定理
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变.
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移。
3.
Parseval
定理

































信号的能量由







曲线下面积给出，或者说等于各频率分量的能量之和。







代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)。
4. 卷积定理





















三．对图像进行二维离散傅里叶变换







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由此可看出，二维离散傅里叶变换是一维离散傅里叶变换在 二维上的推广，
上面的图形可看做一维方波信号在二维上的推广。而变换得到的结果也可看出是
一维傅里叶变换在二维上的推广。

附MATLAB代码：
i=imread('');
figure(1);
imshow(i);
colorbar;
title('原图像')
j=fft2(i);


























































%读入原图像文件
%设定窗口
%显示原图像
%显示图像的颜色条
%图像命名
%二维离散傅立叶变换
%直流分量移到频谱中心
%数字图像的对数变换
%设定窗口
%显示原图像
k=fftshift(j);
l=log(abs(k));
figure(2);
imshow(l,[]);
colorbar;


%显示图像的颜色条
title('经过二维快速傅立叶变换后的图像') %图像命名
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n=ifft2(j)255;
figure(3);
imshow(n);
colorbar;























%逆二维快速傅里叶变换
%设定窗口
%显示原图像
%显示图像的颜色条
title('经过二维快速傅立叶逆变换后的图像') %图像命名
m=fftshift(j);
RR=real(m);
II=imag(m);






















%直流分量移到频谱中心
%取傅立叶变换的实部
%取傅立叶变换的虚部
%计算频谱幅值 A=sqrt(RR.^2+II.^2);
A=(A-min(min(A)))(max( max(A))-min(min(A)))*225; %归一化
figure(4);
imshow(A);
colorbar;





















%设定窗口
%显示原图像
%显示图像的颜色条
%图像命名 title('离散傅立叶频谱')；

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