几何平均收敛公式小学数学五年级《流水行船问题》奥数教材教案

2020年10月11日发(作者：汤加丽)
小学五年级奥数教材：流水行船问题

船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还 受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算
船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的
关系 在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是 指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指
水在单位时间里流过的路程.顺 水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位
时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度 和水速这三个量中的任意两个，
就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以
得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港
返 回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
分析 根据题意，要想求出船速和水 速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水
速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般 数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所
行时间求出。
解：
顺水速度：208÷8=26（千米小时）
逆水速度：208÷13=16（千米小时）
船速：（26+16）÷2=21（千米小时）
水速：（26—16）÷2=5（千米小时）
答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。
例2 某船在静水中的速度是每 小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，
水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要 多少时间？
分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速
度。
解：
从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米小时），
甲乙两地路程：18×8=144（千米），
从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米小时），
返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。
答：从乙地返回甲地需要12小时。
例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5
小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？
分析 要求 帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航
行的时间和与时间差分 别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航
行的时间.并能进一步求出轮船的逆 流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水
速。
解：
轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时），
顺流航行的时间：（35—5）÷2=15（小时），
轮船逆流速度：360÷20=18（千米小时），
顺流速度：360÷15=24（千米小时），
水速：（24—18）÷2=3（千米小时），
帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米小时），
帆船的逆水速度：12—3=9（千米小时），
帆船往返两港所用时间：
360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。
答：机帆船往返两港要64小时。
下面继续研究两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河
里相 向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船
速。
这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速
没有关系。
同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和
船速 有关，与水速无关.这是因为：
甲船顺水速度-乙船顺水速度
=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）
=甲船速-乙船速。
如果两船逆向追赶时，也有
甲船逆水速度-乙船逆水速度
=（甲船速- 水速）-（乙船速-水速）
=甲船速-乙船速。
这说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。
由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解
答。
例4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头
时， 水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，
那么他们追上水 壶需要多少时间？
分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水 速.水壶飘
流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度- 水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=船速.
解：路程差÷船速=追及时间
2÷4=0.5（小时）。
答：他们二人追回水壶需用0.5小时。
例5 甲、乙 两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336
千米的两港同时出发 相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时
后乙船追上甲船？
解：①相遇时用的时间
336÷（24+32）
=336÷56
=6（小时）。
②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：
336÷（32—24）＝42（小时）。
答：两船6小时相遇；乙船追上甲船需要42小时。