学霸的数学表白公式如何计算某一天是星期几

2020年10月11日发(作者：季士林)
如何计算某一天是星期几

如何计算某一天是星期几?

—— 蔡勒（Zeller）公式

历史上的某一天是星期几？未来的某一天是星 期几？关于
这个问题，有很多计算公式（两个通用计算公式和一些分段
计算公式），其中最著名 的是蔡勒（Zeller）公式。即
w=y+[y4]+[c4]-2c+[26(m+1)10]+d -1公式中的符号含义如
下，w：星期；c：世纪-1；y：年（两位数）；m：月（m大
于等 于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月
要看作上一年的13、14月来计算，比如20 03年1月1日
要看作2002年的13月1日来计算）；d：日；[
]代表取整，即只要整 数部分。(C是世纪数减一，y是年份后
两位，M是月份，d是日数。1月和2月要按上一年的13月和 14月来算，这时C和y均按上一年取值。)算出来的
W除以7，余数是几就是星期几。如果 余数是0，则为星期
日。以2049年10月1日（100周年国庆）为例，用蔡勒（Zeller）< br>公式进行计算，过程如下：

蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y4]+[c4]-2c+[26(m+1)10]+d-1

=49+[494]+[204]-2?20+[26? (10+1)10]+1-1

=49+[12.25]+5-40+[28.6]

=49+12+5-40+28

=54 (除以7余5)

即 2049年10月1日（100周年国庆）是星期5。你的生日
（出生时、今年、明年）是星期几？不妨 试一试。不过，以
上公式只适合于1582年10月15日之后的情形（当时的罗
马教皇将恺撒 大帝制订的儒略历修改成格里历，即今天使用
的公历）。
过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看)

星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经?创世
纪》中规定上帝用了六

天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周
期来安排自己的工作和生 活，而星期日是休息日。从实际
的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。所 以
尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》中
说的“十旬休暇”，即是 指官员的工作每十日为一个周期，第
十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。 在日常
生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时
候，我们还想知 道历史上某一天是星期几。通常，解决这
个方法的有效办法是看日历，但是我们总不会 随时随身带
着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想
在计算机编程中 计算某 一天是星期几，预先把一本万年历
存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通过什么公式，
从 年月日推出这一天是星期几呢？ 答案是肯定的。其
实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例 子。比如，
知道了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日
“世界无烟日”是 星期几就不难推算出来。我们可以掰着指头
从1日数到31日，同时数星期，最后可以数出5月31日是
星期一。其实运用数学计算，可以不用掰指头。我们知道星
期是七天一轮回的，所以5月1日是 星期六，七天之后的5
月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。同
样，5月 15日、5月22日和5月29日也是星期六，它们
的日期和5月1日的差值分别是14、21和28， 也都是7的
倍数。那么5月31日呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，但
是31除以7， 余数为2，这就是说，5月31日的星期，是
在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。
这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：首先，
先要知道在想算的日子之前的一个确 定的日子是星期几，拿
这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计算的“原点”。
其次，知道 想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，
用7除这个日期 的差值，余数就表示想算的日子的星期 在
确定的日子的星期之后多少天。如果余数是0，就表示这两
天的星期相同。显然，如果把这个 作为“原点”的日子选为星
期日，那 么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。
但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。比如1982
年7月29日和2004年5月 1日之间相隔7947天，就不
是一下子能算出来的。它包括三段时间：一，1982年7月
2 9 日以后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个
整年的全部天数；三，从2004年 元旦到5月1日经过的天
数。第二段比较好算，它等于21*365+5=7670天，之所以
要加 5，是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就
比较麻烦了，比如第三段，需要把 5月之 前的四个月的天数
累加起来，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同
理 ，第 一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再
加上7月剩下的天数，一共是155天。所以总 共的相隔天数
是122+7670+155=7947天。

仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为12月31日，
那么第一段时间也就是一个 整年，这样一来，第一段时间
和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两
个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元
前1年12月31日（或者天文 学家所使用的公元0年12
月31日），这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。
这 样简化之后，就只须计算两段时间：一，这么多整年的
总天数；二，想算的日子是这一 年的第几天。巧的是，按
照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日
正好是 星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的
余数正好是星期几。那么现在的问题就 只有一个：这么多
整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。
我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。置闰的方
法是能被4整除的年份在 2月 加一天，但能被100整除的
不闰，能被400整除的又闰。因此，像1600、2000、2400< br>年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公
元前1年，按公历也是 闰年。

因此，对于从公元前1年（或公元0年）12月31日到
某一日子的年份Y之间的所有整年 中的闰年数，就等于
[(Y-1)4] - [(Y-1)100] + [(Y-1)400]， [...]表示只取整数部分。
第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去
掉 被100整除的年份数，第三项表示需要再加上被400整
除的年份数。之所以Y要减一，这 样，我们就得到了第一
个计算某一天是星期几的公式： W = (Y-1)*365 + [(Y-1)4] -
[(Y-1)100] + [(Y-1)400] + D． (1) 其中D是
这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1
年（或公元0年）12月 31日到这一天之间的间隔日数。把
W用7除，余数是几，这一天就是星期几。比如我们来 算
2004年5月1日：

W = (2004-1)*365 + [(2004-1)4] - [(2004-1)100] +
[(2004-1)400] +

(31+29+31+30+1)

= 731702， 731702 7 = 104528……6，余数为六，说
明这一天是星期六。这和事实是符合的。

上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，
使用起来很不方便。仔 细想想，其实这个间隔天数W的用
数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是 不
是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数
来代替，用数论上的术语 来说，就是找一个和它同余的较
小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。

显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365
太大了。其实，

(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)

= (Y-1) * (7*52+1)

= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，

这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数 为0，因此
(Y-1)*365除以7的余数其实就 等于Y-1除以7的余数。这
个关系可以表示为： (Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)． 其中，≡
是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7作模数
（也就是除数）的情 况下≡号两边的数是同余的。因此，完
全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，这样我们就得到 了那个著名
的、也是最常见到的计算星期几的公式： W = (Y-1) +
[(Y-1)4] - [(Y-1)100] + [(Y-1)400] +
D． (2)

这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为
累积天数D的计算也比较麻 烦。是不是可以用月份数和日
期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各
个月的日数，列表如下：

月份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9
月 10月 11月 12月

------------------ -------------------------------------------------- ----

天数： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30
31 30 31 如果把这个天数都减去28（=4*7），不影
响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张 表： 月
份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月
10月 11月 12月

----------------------------------------- -------------------------------

剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2
3 2 3

平年累积： 3 3 6 8 11 13 16 19
21 24 26 29

闰年累积： 3 4 7 9 12 14 17 20
22 25 27 30 仔细观察的话，我们会发现除去1
月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2, 3 ；
8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个
重复。相应的累积天数 中， 后一月的累积天数和前一月的
累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的
存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达：
╭ d； （当M＝1）

D = { 31 + d； （当M＝2）
(3)

╰ [ 13 * (M+1) 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （当M≥3）
其中[...]仍 表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的
月份和日数；平年i=0，闰年 i=1。对于M≥3的 表达式需要
说明一下：[13*(M+1)5]-7算出来的就是上面第二个表中的
平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的
所有月份的总天数。这是一 个很巧妙的办法，利用取整运
算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对2004年5月1日，有：
D = [ 13 * (5+1) 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1

= 122，

这正是5月1日在2004年的累积天数。

假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的
“13月”和“14月”，不仅仍

然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一
共有14个月）的最后一 天，成了d的一部分，于是平闰年
的影响也去掉了，公式就简化成： D = [ 13 * (M+1) 5 ] - 7
+ (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4) 上面计
算星期几的公式，也就可以进一步简化成： W = (Y-1) +
[(Y-1)4] - [(Y-1)100] + [(Y-1)400] + [ 13 * (M+1) 5 ] - 7
+ (M-1) * 28 + d． 因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被
7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变， 公式变
成： W = (Y-1) + [(Y-1)4] - [(Y-1)100] + [(Y-400] + [ 13 *
(M+1) 5 ] + d．


(5) 当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和
14月，因此在计算1月和2月的日子 的星期 时，除了M要
按13或14算，年份Y也要减一。比如，2004年1月1日
是星期四，用这 个公式来算，有： W = (2003-1) +
[(2003-1)4] - [(2003-1)100] + [(2003-1)400] +
[13*(13+1)5] + 1

= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1

= 2524；

2524 7 = 360……4．这和实际是一致的。 公式(5)已
经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还 不是最简练
的，对于年份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式
算出每个世纪第一年3月 1日的星期，列表如下： 年份：
1(401,801,…,2001)
101(501,901,…,2101)

---------------- -------------------------------------------------- --

星期： 4 2

====================================== ======
========================

年份：201(601,1001,…,2201)
301(701,1101,…,2301)

--------------- -------------------------------------------------- ---

星期： 0 5 可
以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如我们把
301(701,1101, …,2301) 年3月1日的星期数看成是-2（按
数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可 以
做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2
的等差数列。据此，我们 可以得到下面的计算每个世纪第
一年3月1日的星期的公式： W = (4 - C mod 4) * 2 -
4． (6) 式中，C是该世纪的世
纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于2001
年3月 1日，C=20，则： W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4

= 8 - 4

= 4． 把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得： (Y-1)
+ [(Y-1)4] - [(Y-1)100] + [(Y-1)400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1

(mod 7)． (7) 因此，公式(5)中的
(Y-1) + [(Y-1)4] - [(Y-1)100] + [(Y-1)400]这四项，在计算个
世纪第一年的日期的星期时，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来
代替。这个公式写出来就是： W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13
* (M+1) 5] + d． (8) 有了计算每个世纪第 一年的日
期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就
很容易得到了。因为在一个 世纪里，末尾为00的年份是最
后一年，因此就用不着再考虑“一百年不闰，四百年又闰”的
规 则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公
式(2)的方法，我们很容易就可以从式 (8)得到一个比公式(5)
更简单的计算任意一天是星期几的公式： W = (4 - C mod 4)
* 2 - 1 + (y-1) + [y4] + [13 * (M+1) 5] + d． (9) 式中，y
是年份的后两位数字。 如果再考虑到取模运算不是四
则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写成 只含
四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余
数r之间有如下关系： 4q + r = C， 其中r即是 C mod 4，
因此，有： r = C - 4q

= C - 4 *
[C4]．
(10) 则 (4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C4]) * 2

＝ 8 - 2C + 8 * [C4]

≡ [C4] -C + 1 (mod
7)． (11) 把式(11)代入(9)，得到：
W = [C4] - 2C + y + [y4] + [13 * (M+1) 5] + d -
1． (12) 这个公式由世纪数减一、年份末
两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是

几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2
月当成上一年的13月和14月，

C和y都按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计
算任意一天是星期几的最好的

公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安?蔡勒
（Christian Zeller, 1822-

1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’s
Formula）。为方便口算，

式中的[13 * (M+1) 5]也往往写成[26 * (M+1) 10]。 现
在仍然让我们来算2004年5月1日的 星期，显然C=20，
y=4，M=5，d=1，代入蔡勒

公式，有： W = [204] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) 5] + 1 - 1

= -15． 注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能
按数论中的余数的定义求余 。为了方便计算，我们可以给它
加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得
到 55。再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是
一致的，也和公式(2)计算所得的结果一致 。

最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高
利历）的置闰规则 来考虑的。对于儒略历，蔡勒也推出了相
应的公式是： W = 5 - C + y + [y4] + [13 * (M+1) 5] + d -
1． (13) 这样，我们终于一劳
永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。

(以上内容来自网络)