烛之武退秦师一句一译-宋史道学传
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底面为直角三角形的直三棱柱有关外接球半
径的结论
作者：罗文军
来源：《中学生理科应试》2015年第11期
在历年高考题中， 出现过有关直三棱柱外接球的题，如2009年全国卷Ⅰ理科数学第15题
和2010年全国新课标卷理 科数学第10题.文[1]中给出了直角三角形内有关外接圆半径的一些
结论，笔者读后受益匪浅.受该 文启发，笔者通过类比和联想，得到了底面为直角三角形的直
三棱柱有关外接球半径的一些结论.现介绍 如下，以供参考.
结论1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90° ，AC=b，BC=a，AB=c，侧棱AA1=d，
CD、C1D1分别为AB和A1B1边上的高线 ，球O、球O1、球O2分别为直三棱柱ABC-
A1B1C1、ADC-A1D1C1和BDC-B1 D1C1的外接球，其半径分别为R、R1、R2，则[R21-（ d
2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]=R2-（ d 2 ）2.
证明 设三角形A1B1C1的外心为M1，
则O在底面A1B1C1上的射影是M1，
A1M1= c 2 ，OM1= AA1 2 = d 2 ，R2=A1M21+OM21=（ c 2 ）2+（ d 2 ）2，
在三角形ABC中， AD AC = AC AB ， AD b = b c ，AD= b2 c ，CD= AC·BC AB = ab c .
设N1为三角形A1D1C1的外心，
则O1在底面A1D1C1的射影是N1，A1N1= b 2 ， R21=A1N21+O1N21=（ b 2 ）2+（ d
2 ）2
同理可求得R22=（ a 2 ）2+（ d 2 ）2，
在三角形ABC中，根据勾股定理，a2+b2=c2，
[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]=（ b 2 ）2+（ a 2 ）2=（ c 2 ）2=R2-（ d 2 ）2
结论2 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，侧棱AA1=d，
CD、C1D1分别为AB 和A1B1边上的中线，球O、球O1、球O2分别为直三棱柱ABC-
A1B1C1、ADC-A1D 1C1和BDC-B1D1C1的外接球，其半径分别为R、R1、R2，则 1 R21-
（ d 2 ）2 + 1 R22-（ d 2 ）2 = 4 R2-（ d 2 ）2 .
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本文更新与2020-10-11 02:47，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/413258.html
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