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log高中函数公式直角三角形的边角关系三角函数的概念

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-11 05:29
tags:三角形边角关系公式

必修三数学-好的诗句

2020年10月11日发(作者:钱镜塘)
同步教学
主讲人:黄冈中学高级教师 梁荷映

一、周知识概述 1、从实际问题出发——梯子靠在墙上,有的较陡,有的较缓,用什么值反映出来?通过学习发现:把这一< br>问题
转化为在直角三角形中,某锐角的对边与邻边的比.所以规定

显然,梯子的倾斜程度与tanA的值的大小有关,当0°逐渐增大
,梯子越陡.
2、相应地规定正弦:
3、关于30°, 45°,60°的正弦,余弦、正切值,可由直角三角形来确定,与直角三角形大小无关,而与
两锐 角大小有关.


当∠A=30°时 当∠A=45°时 当∠A=60°时

将它们的特殊值列表如下:
三角函数
sinα
角α的度数
30°
45°
60°







1

cosα tanα
4、为方便学习,应了解一下在直角三角形中,把∠A的邻边与∠A的对边之比起名为余切,即

5、在Rt△ABC中,由锐角A(0° 可得出即sin
2
A+cos
2
A=1.
6、除特殊角30°,45°,60°的三角函数值外,还有0°,90°的极端情况规定:

(b≠0),而sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.
二、本周重难点
1、重点:特殊角30°,45°,60°的正弦值,余弦值及正切值,且能 根据特殊角的三角函数值,仅求锐角
的大
小.
2、难点:如何将一般三角形,通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题.
三、本周重难点知识讲解:
例1、在Rt△ABC中∠C=90°,AB=6,BC=2.求
(1)sinA, cosA, tanA的值;
(2)sinA与cosB是否相等?sinB与cosA是否相等?为什么,
tanA与sinA,cosA又有什么关系,为什么?
(3)sin
2
A与cos
2
A有什么关系?为什么?

解:∵BC=2,AB=6,.
(1)
同理:

(2)
又∵∠B=90°-∠A,即sinA=cos(90°-A) ①
∴sinB=cosA而∠A=90°-∠B
∴sinB=cos(90°-B) ②

(3)
且sin
2
A+cos
2
A=
综上所述,除了掌握从0°~90°间的特殊角的三角函数值外,还需了解它们之间的关系,可分为:
(1)互余关系:sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)
(2)平方关系:sin
2
A+cos
2
A=1
(3)商数关系:可作为公式使用.

例2、在Rt△ABC中,∠C=90°,若求tanB的值.

解析:此题有两种解法,一是定义法,二是用三角函数间的关系式.
解法一:定义法:在Rt△ABC中,∠C=90°,且
∴设BC=3a,∴AB=5a,

解法二:∵sinA=cos(90°-A)=cosB,.
又∵sin
2
B+cos
2
B=1,且sinB>0,


例3、求下列各式的值.
(1)
(2)(1+sin40°)(1- cos50°)-tan60°·tan30°-cos
2
40°
(3)已知

解析:∵sin90°=1(规定),且cos
2
45°+sin
2
45°=1.
解:(1)

(2)利用互余关系 cosα=sin(90°-α),即cos50°=sin(90°-50°)=sin40°,
∴原式=(1+sin40°)(1-sin40°)-
=1-sin
2
4 0°-1-cos
2
40°=-(sin
2
40°+cos
2
40°)=-1
(3)将所求式子转化为有tanα的式子,即可代值,∴利用商数关系.


例4、如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=5,AC=3,求sinB·sinC的值.

解析:∵△ABC不是Rt△,但∠A=120°是一个特殊角,一般情况下,不去破坏它, 即不要从点A向BC边
引垂线,而要利用∠A的补角60°去解决问题.
解:过C、B分别作CD⊥BA,BE⊥CA,交BA、CA的延长线于D,E,
∵∠BAC=120°,∴∠CAD=∠BAE=60°,∴在Rt△ADC中,∠ACD=30°,
∴.


.


例5、若太阳光线与地面成37°角,一棵树的影长为10m,则树高h的范围是多少
解析:将实际问题转化为解Rt△,画出图形

解:如图,由题意∠B=37°,BC=10m,∠ACB=90°,

又∵30° <37°<45°,∴tan30°即(单位:m).S

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