整数乘分数的公式初一复杂的乘法公式以及配方十分钟训练(尖子班)

2020年10月11日发(作者：祖甲)
第二讲 复杂的乘法公式以及配方十分钟训练（尖子班）



一．填空题（共7小题）

1．（3
2
+1）（3
4
+1）（3
8
+1）…（3
64
+1）×8+1= ．

2．已知m，n是正整数，代数式x
2
+mx+（10+n）是一个完全平方式，则n 的最
小值是 ，此时m的值是 ．

3．已知x
2
+（m+2）x+36是完全平方式，则m的值为 ．

4．已知实数a，b，c满足a
2
﹣2b=﹣2，b
2
+ 6c=7，c
2
﹣8a=﹣31，则a+b+c的值等
于 ．

5．多项式x
2
+y
2
﹣4x+2y+8的最小值为 ．

6．若a=1990，b=1991，c=1992，则a
2
+b
2
+c
2
﹣ab﹣bc﹣ca= ．

7．已知5x2
+2y
2
+2xy﹣14x﹣10y+17=0，则x= ，y= ．



二．解答题（共2小题）

8．求代数式5x
2
﹣4xy+y
2
+6x+25的最小值．




9．已知m=4x
2
﹣12xy+10y
2
+4y+9，当x、y各取何值时，m的值最小？




第二讲 复杂的乘法公式以及配方十分钟训练（尖子班）

参考答案与试题解析



一．填空题（共7小题）
1．（3
2
+1）（3
4
+1）（3
8
+1）…（3< br>64
+1）×8+1= 3
128
．

【分析】将分子和分 母同时乘以（3
2
﹣1），然后根据平方差公式进行计算．

【解答】解：（ 3
2
+1）（3
4
+1）（3
8
+1）…（3
64
+1）×8+1=
（3
8
+1）…（3
64
+1）×8+1

=（3
2
﹣1）（3
2
+1）（3
4
+ 1）（3
8
+1）…（3
64
+1）+1

=3
128
﹣1+1

=3
128
，

故答案为：3
128
．

【点评】此题主要考查平方差公式的性质及其应用，是一道好题，计算时要仔细．



2．已知m，n是正整数，代数式x
2
+mx+（10+n）是一个完全平 方式，则n的最
小值是 6 ，此时m的值是 ±8 ．

【分析】由题意可以得知1 0+n是完全平方数，且n是正整数，可以得出大于10
的最小完全平方数是16，从而可以求出n值， 进而根据完全平方式的性质可以
求出m的值．

【解答】解：∵代数式x
2
+mx+（10+n）是一个完全平方式，

∴10+n是完全平方数，

∵m，n是正整数，且大于10的最小完全平方数是16，

∴10+n=16，

∴n=6．

由完全平方式的性质可以得出：

±mx=8x，

∴m=±8．

×（3
2
+1）（3
4
+1）
故答案为：±8，6

【点评】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积
的2倍，就构成 了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．



3．已知x
2
+（m+2）x+36是完全平方式，则m的值为 ﹣14或10 ．

【分析】这里首末两项是x和6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x
和 6积的2倍．

【解答】解：∵x
2
+（m+2）x+36是完全平方式，

∴x
2
+（m+2）x+36=（x±6）
2
，

∴m+2=±12，

∴m
1
=10，m
2
=﹣14，

故答案是10或﹣14．

【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加 上或减去它们积的2
倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．



4．已知实数a，b，c满足a
2
﹣2b=﹣2，b
2
+6c=7，c
2
﹣8a=﹣31，则a+b+c的值等
于 2 ．

【分析】首先将三个式子左边与右边分别相加，即可得：a
2
﹣2b+b
2
+6c+c
2
﹣
8a+26=0，再将其配方，得（a﹣4）2
+（b﹣1）
2
+（c+3）
2
=0，由非负数的和为0，< br>每个为0，即可求得结果．

【解答】解：∵a
2
﹣2b=﹣2，b< br>2
+6c=7，c
2
﹣8a=﹣31，

∴a
2﹣2b+b
2
+6c+c
2
﹣8a+26=0，

∴（ a﹣4）
2
+（b﹣1）
2
+（c+3）
2
=0，

∴a﹣4=0，b﹣1=0，c+3=0，

∴a=4，b=1，c=﹣3，

∴a+b+c=2．

故答案为：2．

【点评】此题考查了配方法 与非负数的和为0，每个为0的性质．题目难度适中，
解题时要注意分析．



5．多项式x
2
+y
2
﹣4x+2y+8的最小值为 3 ．

【分析】由题意x
2
+y
2
﹣4x+2y+8=（ x﹣2）
2
+（y+1）
2
+3，然后根据完全平方式的
性质进行求 解．

【解答】解：∵x
2
+y
2
﹣4x+2y+8=（x
2
﹣4x+4）+y
2
+2y+1+3=（x﹣2）
2
+（ y+1）
2
+3
≥3，

当且仅当x=2，y=﹣1时等号成立，

∴多项式x
2
+y
2
﹣4x+2y+8的最小值为3．

故答案为3．

【点评】此题主要考查非负数偶次方的性质即所有非负数都大于等于0 ，本题是
一道基础题．



6．若a=1990，b=1991， c=1992，则a
2
+b
2
+c
2
﹣ab﹣bc﹣ca= 3 ．

【分析】将a
2
+b
2
+c
2
﹣ ab﹣bc﹣ca转化为完全平方的形式，再将各数代入求值较
简便．

【解答】解：因为a=1990，b=1991，c=1992，所以

a
2
+b
2
+c
2
﹣ab﹣bc﹣ca=（2a
2
+2 b
2
+2c
2
﹣2ab﹣2bc﹣2ca），

=[（a< br>2
﹣2ab+b
2
）+（b
2
﹣2bc+c
2
）+（c
2
﹣2ca+a
2
）]，

=[（a﹣b）2
+（b﹣c）
2
+（c﹣a）
2
]，

=[ （1990﹣1991）
2
+（1991﹣1992）
2
+（1992﹣19 90）
2
]，

=[（﹣1）
2
+（﹣1）
2+（+2）
2
]，

=3．

【点评】此题考查了完全 平方公式和代数式求值，解题的关键是将a
2
+b
2
+c
2
﹣ab
﹣bc﹣ca转化为完全平方公式，以简化计算．



7． 已知5x
2
+2y
2
+2xy﹣14x﹣10y+17=0，则x= 1 ，y= 2 ．

【分析】把5x
2
+2y
2
+2xy﹣1 4x﹣10y+17=0，化为5x
2
+（2y﹣14）x+2y
2
﹣10y +17=0，
根据△≥0即可求解．

【解答】解：∵5x
2
+2y
2
+2xy﹣14x﹣10y+17=0，

化为5x
2
+ （2y﹣14）x+2y
2
﹣10y+17=0，

∴△=（2y﹣14）< br>2
﹣4×5×（2y
2
﹣10y+17）≥0，

化简即：﹣36（y﹣2）
2
≥0，

∴y=2，代入得：5（x﹣1）
2
=0，∴x=1．

故答案为：1，2．


【点评】本题考查了完全平方公式及非负数的性质， 难度较大，关键是先从△≥
0入手解出y的值．


二．解答题（共2小题）

8．求代数式5x
2
﹣4xy+y
2
+6x+25的最小值．


【分析】首先把已知等式变为4x
2
﹣4xy+y
2
+x
2
+6x+9+16，然后利用完全平方公式
分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可
解决问题．
【解答】解：5x
2
﹣4xy+y
2
+6x+25


=4x
2
﹣4xy+y
2
+x
2
+6x+9+16
=（2x﹣y）
2
+（x+3）
2
+16

而（2x﹣y）
2
+（x+3）
2
≥0，


∴代数式5x
2
﹣4xy+y
2
+6x+25的最小值是16． < br>【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，首先利用公式分解因式使等式变
为两个非负数和一 个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．




9 ．已知m=4x
2
﹣12xy+10y
2
+4y+9，当x、y各取何值时， m的值最小？
【分析】把9y
2
分成8y
2
+y
2
，9分成4+5，然后分别与剩余的项组成完全平方形式，
从而出现两个非负数的和加上5的形式，忧 由于两个非负数的最小值等于0，那
么每一个非负数都等于0，从而求出x、y的值，进而得出m的最小 值．


【解答】解：m=4x
2
﹣12xy+10y
2< br>+4y+9=（2x﹣3y）
2
+（y+2）
2
+5，

由于m等于两个非负数的和加上5，所以最小值是0+5=5，即m=5，
即2x﹣3y=0，y+2=0，

∴x=﹣3，y=﹣2．

故m=5，x=﹣3，y=﹣2．


【点评】本题主要考查完全平方公式． 完全平方公式：（a±b）
2
=a
2
±2ab+b
2
．注< br>意会正确的拆项．