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excel拖动公式不递增布尔代数习题附标准答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-11 13:26
tags:布尔公式

popular是什么意思-心大星

2020年10月11日发(作者:霍泰然)
练习8.1
1.证明在布尔代数中a∨(a’∧b)=a∨b, a∧(a’∨b)=a∧b
证明:
a∨(a’∧b)
=(a∨a’)∧(a∨b) 分配律
=1∧(a∨b) 布尔代数的定义
=a∨b 布尔代数的定义
第二个式子是第一个式子的对偶式,对第一个式子用对偶原理即可得到。
2.证明:
(1) (a∨b)∧(c∨d)=(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧d)∨(b∧d)
(2)(a∧b)∨(c∧d)=(a∨c)∧(b∨c)∧ (a∨d)∧(b∨d)
并推广到一般情况。
证明:只需证明第一式,用对偶原理即得第二式。
(a∨b)∧(c∨d)
=((a∨b)∧c)∨((a∨b)∧d) 分配律
=((a∧c)∨(b∧c))∨((a∧d)∨(b∧d)) 分配律
= (a∧c)∨(b∧c)∨ (a∧d)∨(b∧d) 结合律
推广到一般情况:
(1) (a1∨a2∨…∨an)∧(b1∨b2∨…∨bn)
=(a1∧b1)∨(a1∧b2)∨…∨( a1∧bn)∨(a2∧b1)∨(a2∧b2)∨…∨(a2∧bn)∨…∨(an∧b1)∨(an∧b2)
∨…∨(an∧bn)∨
(2) (a1∧a2∧…∧an)∨(b1∧b2∧…∧bn)
=(a1∨b1)∧(a1∨b2)∧…∧(a1∨bn)
∧(a2∨b1)∧(a2∨b2)∧…∧(a2∨bn)
∧…∧(an∨b1)∧(an∨b2)∧…∧(an∨bn)
3. 证明:
(1) (a’∧c’)∨(b∧c)∨(a∧b’)=(a’∧b)∨(a∧c)∨(b’∧c’)
证明:
左式
=(a’∧c’)∨(b∧c)∨(a∧b’)
=(((a’ ∧c’) ∨b) ∧((a’ ∧c’) ∨c) )∨(a∧b’) 分配律
=((a’ ∨b)∧(c’ ∨b) ∧(a’ ∨c)∧(c’ ∨c))∨(a∧b’)分配律
=((a’ ∨b)∧(c’ ∨b) ∧(a’ ∨c))∨(a∧b’)分配律
= ((a’ ∨b)∧(c’ ∨b) ∧(a’ ∨c))∨(a∧b’)分配律
=(((a’ ∨b)∧(c’ ∨b) ∧(a’ ∨c))∨a)∧(((a’ ∨b)∧(c’ ∨b) ∧(a’ ∨c))∨b’) 分配律
= ((a’ ∨b∨a)∧(c’ ∨b∨a) ∧(a’ ∨c∨a))∧((a’ ∨b∨b’)∧(c’ ∨b∨b’) ∧(a’ ∨c∨b’))分配律
= (c’ ∨b∨a)∧(a’ ∨c∨b’)布尔代数的定义
右式
=(a’∧b)∨(a∧c)∨(b’∧c’)
=(((a’ ∧b) ∨a)∧((a’ ∧b)∨ c)))∨(b’∧c’) 分配律
=(((a’ ∨a)∧(b∨a))∧((a’ ∨ c)∧(b∨ c)))∨(b’∧c’) 分配律
=((b∨a)∧(a’ ∨ c)∧(b∨ c))∨(b’∧c’) 分配律
=(((b∨a)∧(a’ ∨ c)∧(b∨ c))∨b’)∧(((b∨a)∧(a’ ∨ c)∧(b∨ c))∨c’)) 分配律
=(((b∨a∨b’)∧(a’ ∨ c∨b’)∧(b∨ c∨b’)))∧(((b∨a∨c’)∧(a’ ∨ c∨c’)∧(b∨ c∨c’)))) 分配律
1 5
=(a’ ∨ c∨b’)∧(b∨a∨c’) 布尔代数的定义
所以,左式=右式,即原式成立。
(2) (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)=(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
证明:
(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)
=(((a∧b) ∨b)∧((a∧b) ∨c))∨(c∧a) 分配律
=(b∧((a∧b) ∨c))∨(c∧a) 吸收律
=(b∧((a∨c)∧(b∨c)))∨(c∧a) 分配律
=( b∧(a∨c))∨(c∧a) 交换律、吸收律
=(( b∧(a∨c))∨c)∧((b∧(a∨c))∨a) 分配律
=((( b∧a)∨(b∧c))∨c)∧(((b∧a)∨(b∧c))∨a) 分配律
=(( b∧a)∨c)∧( (b∧c)∨a) 吸收律
=(( b∧a)∨c)∧( (b∧c)∨a) 吸收律
=(( b∨c)∧(a∨c))∧( (b∨a)∧(c∨a))分配律
=(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 幂等律、交换律
4. 证明:如果a∧b=a∧c 且a∨b=a∨c,则b=c.
证明:
b=b∨(a∧b) 吸收律
= b∨(a∧c) 题目条件
=(b∨a)∧(b∨c)分配律
= (a∨c) ∧(b∨c) 题目条件
= (a∧b) ∨c 分配律
=(a∧c) ∨c 题目条件
=c 吸收律
练习8.2
1.构造命题布尔代数<{0,1},∨,∧,﹁,0,1>上的下列布尔函数的真值表
(1) f(x,y,z)=x∧(y∨z)
x y z
(y∨z) x∧(y∨z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
0
0
0
0
0
1
1
1
(2) f(x,y,z)=x∨(y∧z)
x y z
y∧z x∨(y∧z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
0
0
0
1
1
1
2 5
1 1 0 0
1 1 1 1
w,x, y,z
x∨z
w∧y
w∧y∧
(x∨z)
w,x, y,z
x∨z
(y∧
(x∨z))
w∨(y∧
(x∨z))
00
00
0
0
0
1
1
00
01
1
0
0
00
10
0
0
0
00
11
1
0
0
01
00
1
0
0
01
01
1
0
0
01
10
1
0
0
01
11
1
0
0
10
00
0
0
0
10
01
1
0
0
10
10
0
1
0
10
11
1
1
1
11
00
1
0
0
11
01
1
0
0
11
10
1
1
1
11
11
1
1
1
(3) f(w,x,y,z)=w∧y∧(x∨z)
(4) f(w,x,y,z)=w∨(y∧(x∨z))
00
00
0
0
0
00
01
1
0
0
00
10
0
0
0
00
11
1
1
1
01
00
1
0
0
01
01
1
0
0
01
10
1
1
1
01
11
1
1
1
10
00
0
0
1
10
01
1
0
1
10
10
0
0
1
10
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1
1
1
11
00
1
0
1
11
01
1
0
1
11
10
1
1
1
11
11
1
1
1

2. 构造一个三元函数f(x,y,z),使得当且仅当x,y,z中恰有一个取值1时,f的值为0。
解:据题意可知,函数f须满足以下表格:
f
<0,0,0> 1
<0,0,1> 0
<0,1,0> 0
<0,1,1> 1
<1,0,0> 0
<1,0,1> 1
<1,1,0> 1
<1,1,1> 1
假设f(x,y,z)的主析取范式为
f=(a∧x∧y∧z )∨(b∧x∧y∧z’)∨(c∧x∧y’∧z)∨(d∧x∧y’∧z’)∨(e∧x’∧y∧z)∨(f∧ x’∧y∧
z’)∨(g∧x’∧y’∧z)∨(h∧x’∧y’∧z’)
把f(0,0,0 )=f(0,1,1)=f(1,0,1)=f(1,1,0)=f(1,1,1)=1和f(0,0,1)=f (0,1,0)=f(1,0,0)=0代入上式可以得到
a=1,b=1,c=1,d=0,e=1,f=0,g=0,h=1.
代入f可以得到 < br>f=(x∧y∧z)∨(x∧y∧z’)∨(x∧y’∧z)∨(x’∧y∧z)∨(x’∧y’∧z’)
或者用类似方法得到主合取范式
f=(x∨y∨z’)∧(x∨y’∨z)∧(x’∨y∨z)
3.已知<{0,1,a,b},∨,∧,’,0,1>为布尔代数,其上有布尔函数:
f(x1,x2,x3)= (a∧x1∧x2’)∨(x1∧(x3∨b))
(1) 求f(b,1,a)的值;
(2) 求f(x1,x2,x3)的主析取范式和主合取范式。
解:
(1) f(b,1,a)=b
3 5
(2) 首先在此布尔代数中a=b’,所以a∨b=1.
方法一
f(x1,x2,x3)= (a∧x1∧x2’)∨(x1∧(x3∨b))
=(a∧x1∧x2’)∨(x1∧x3)∨(x1∧b)
=(a∧x1∧x2’∧(x3 ∨x3’))∨(x1∧(x2 ∨x2’)∧x3)∨(b∧x1∧(x2 ∨x2’) ∧(x3 ∨x3’))
=(a∧x1∧x2’∧x3)∨(a∧x1∧x2’∧x3’)∨(x1∧x2∧x3) ∨(x1∧x2’∧x3)
∨(b ∧x1∧x2∧x3) ∨(b ∧x1∧x2∧x3’)∨(b ∧x1∧x2’∧x3) ∨(b ∧x1∧x2’∧x3’)
=(x1∧x2’∧x3’) ∨(x1∧x2∧x3) ∨(x1∧x2’∧x3) ∨(b∧x1∧x2∧x3’)主析取范式

f(x1,x2,x3)= (a∧x1∧x2’)∨(x1∧(x3∨b))
= ((a∧x1∧x2’)∨x1)∧((a∧x1∧x2’)∨(x3∨b))
= (x1)∧(a∨x3∨b)∧(x1∨x3∨b)∧(x2’∨x3∨b)
= (x1) ∧(b∨x2’∨x3)
= (x1∨(x2∧x2’)∨(x3∧x3’)) ∧(b∨(x1∧x1’)∨x2’∨x3)
=(x1∨x2∨x3) ∧(x1∨x2∨x3’) ∧(x1∨x2’∨x3) ∧(x1∨x2’ ∨x3’)
∧(b∨x1∨x2’∨x3)∧(b∨x1’∨x2’∨x3)
=(x1∨x2∨x3) ∧(x1∨x2∨x3’) ∧(x1∨x2’∨x3)∧(x1∨x2’ ∨x3’)
∧(b∨x1∨x2’∨x3)∧(b∨x1’∨x2’∨x3)主合取范式
==(x1∨x2∨x3) ∧(x1∨x2∨x3’) ∧(x1∨x2’∨x3)∧(x1∨x2’ ∨x3’)∧(b∨x1’∨x2’∨x3) 主合取范


方法二
假设f(x1,x2,x3)的主析取范式为
f=(a0∧x1∧x2∧x3)∨(a1∧x 1∧x2∧x3’)∨(a2∧x1∧x2’∧x3)∨(a3∧x1∧x2’∧x3’)∨(a4∧x1’∧x 2
∧x3)∨(a5∧x1’∧x2∧x3’)∨(a6∧x1’∧x2’∧x3)∨(a7∧x1’∧ x2’∧x3’)
则f(0,0,0)=a7,f(0,0,1)=a6,f(0,1,0)= a5 ,f(0,1,1)=a4,f(1,0,0)=a3,f(1,0,1)=a2,f(1,1,0)=a1,f (1,1,1)=a0。
再由f(x1,x2,x3)= (a∧x1∧x2’)∨(x1∧(x3∨b))得到
f(0,0,0)=0,f(0,0,1)=0,f(0,1,0)=0 ,f(0,1,1)=0,f (1,0,0)=1,f(1,0,1)=1,f(1,1,0)=b,f(1,1,1)=1。
从而 a0=1,a1=b,a2=1,a3=1,a4=0,a5=0,a6=0,a7=0.带入假设得到主析取范 式为
f=(x1∧x2∧x3)∨(b∧x1∧x2∧x3’)∨(x1∧x2’∧x3)∨(x1∧ x2’∧x3’)
类似方法可以得到主合取范式(x1∨x2∨x3) ∧(x1∨x2∨x3’) ∧(x1∨x2’∨x3)∧(x1∨x2’ ∨x3’)∧
(b∨x1’∨x2’∨x3)
4.对于表11.1 中的函数f,分别写出其主析取范式和主合取范式。
表11.1
f
<0,0,0> 1
<0,0,1> 0
<0,1,0> 1
<0,1,1> 0
<1,0,0> 0
<1,0,1> 1
<1,1,0> 0
<1,1,1> 1
解:假设f(x1,x2,x3)的主析取范式为
4 5
f=(a∧x1∧x2 ∧x3)∨(b∧x1∧x2∧x3’)∨(c∧x1∧x2’∧x3)∨(d∧x1∧x2’∧x3’)∨(e ∧x1’∧x2∧
x3)∨(f∧x1’∧x2∧x3’)∨(g∧x1’∧x2’∧x3)∨(h∧x 1’∧x2’∧x3’)
把f(0,0,0)=f(0,1,0)=f(1,0,1)= f(1,1 ,1)=1和f(0,0,1)=f(0,1,1)=f(1,0,0)=f(1,1,0)=0代入上式可以得 到
a=1,b=0,c=1,d=0,e=0,f=1,g=0,h=1.
代入f可以得到
主析取范式 (x1∧x2∧x3) ∨(x1∧x2’∧x3) ∨(x1’∧x2∧x3’) ∨(x1’∧x2’∧x3’)
类似方法可得到
主合取范式。(x1∨x2∨x3’)∧( x1∨x2’∨x3’)∧(x1’∨x2∨x3)∧(x1’∨x2’∨x3)
5 5

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