汉宁窗公式人教版八年级下数学19一次函数公式

2020年10月11日发(作者：芮复傅)
一次函数公式

函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量
X和Y，如果给定一个X值，有唯一确定的Y值与之对应，那么
我们称X是Y的函数
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b （k≠0，b为任意实数）
则此时称y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k≠0）
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；若
与实际相反。
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b（k≠0) （k≠0,b取任何实数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
3.k为一次 函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象
与x轴正方向夹角)
一次函数图像的做法：
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；
（2）描点；
（3） 连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作
一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可 。（通常找函数
图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（ x，y），都满足等
式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，
b)，与x轴总是交于（-bk，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：
y=kx时
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线必通过原点,经过一、三象限
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
y=kx+b时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函
数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只
通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一
次项系数）相等
当 平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负
倒数（即两个K值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函
数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任 意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y
1
=kx
1
+b …和 y
2
=kx
2
+b ……
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
1.求函数图像的k值：（y1-y2)(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|2
4.求任意线段的长：√(x
1
-x
2
)^2+(y
1
-y
2
)^2 （注：根号 下（x
1
-x
2
)
与（y
1
-y
2
)的平方和）
5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y
1
=k
1
x+b
1
y
2
=k
2
x+b
2
令y
1
=y
2
得k
1
x+b
1
=k
2
x+b
2
将解< br>得的x=x
0
值代回y
1
=k
1
x+b
1< br> y
2
=k
2
x+b
2
两式任一式 得到y=y
0
则
(x
0
,y
0
)即为y
1
=k
1
x+b
1
与y
2
=k
2
x+b
2
交点坐标
6.求任意2 点所连线段的中点坐标：[（x
1
+x
2
）2，（y
1
+y
2
）2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：
（X-x
1
）(x
1
-x
2)
=(Y-y
1
)(y
1
-y
2
)(其中分母为0，则分子为0)
k b
+ + 在一、二、三象限
+ - 在一、三、四象限
- + 在一、二、四象限
- - 在二、三、四象限
8.若两条直线y
1
=k
1
x+b
1
‖y
2
=k
2
x+b
2
，那么k
1
=k
2
，b
1
≠b
2

9. 如两条直线y
1
=k
1
x+b
1
⊥y
2
= k
2
x+b
2
那么k
1
×k
2
=-1

一次函数的应用
一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的 增大而增
大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。
【考点指要】
一次函数 的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别
是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法 求函数解析
式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及
方程、方程组、不等 式综合在一起，以选择题、填空题、解答题
等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常 用
到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
例2.如果一次函数y=kx+b 中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的
函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。
解：（1）若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x—6
（2）若k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4
【考点指要】
此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的
增大而增大；若k＜0，则y随 x的增大而减小。
一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增
大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性
质可解决下列问题。
一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数 ，则当m=______________时，y随x
的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所
以 。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数 y=3x+4
的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1 解：根据题意，知k=3> 0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当
k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A 。
三、判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，
则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb> 0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以
k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图 象经过第二、三、四象
限，不经过第一象限。故选A . 典型例题:
例1. 一个弹簧 ，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸
长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg 物体后，弹
簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之
间的 函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值
范围.
分析：此题由物理 的定性问题转化为数学的定量问题，同时也
是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的 长
度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大
质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22