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液体中压强的计算公式初中数学竞赛:函数的最大值与最小值

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-12 12:27
tags:最小值的公式

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2020年10月12日发(作者:蒋芸生)
初中数学竞赛:函数的最大值与最小值

我们常常遇到求最大值和最小值的问题,在 许多情况下可以归结为求函数的最大值与最
小值.这类问题涉及的知识面广,综合性强,解法灵活,因而 对于培养学生的数学能力具有
重要作用.本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题.
1.一次函数的最大值与最小值
一次函数y=kx+b在其定义域(全体实数)内是没有最大 值和最小值的,但是,如果对自
变量x的取值范围有所限制时,一次函数就可能有最大值和最小值了.
例1 设a是大于零的常数,且a≠1,
最小值.
求y的最大值与


大值a.


例2 已知x,y,z是非负实数,且满足条件
x+y+z=30,3x+y-z=50.
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值.
分析 题设条件给出两个方程,三个未知数x,y,z,当然,x,y,z的具体数值是不能
求 出的.但是,我们固定其中一个,不妨固定x,那么y,z都可以用x来表示,于是u便
是x的函数了.
解 从已知条件可解得
y=40-2x,z=x-10.
所以
u=5x+4y+2z
=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140.
又y,z均为非负实数,所以

解得10≤x≤20.
由于函数u=-x+140是随着x的增加而减小的,所以当x=10时,u有最大值130;当
x=20时,u有最小值120.

2.二次函数的最大值与最小值
例3 已知x,x
2
是方程
x-(k-2)x+(k+3k+5)=0

解 由于二次方程有实根,所以
△=[-(k-2)]-4(k+3k+5)≥0,
3k+16k+16≤0,
2
22
22
1



例4 已知函数

有最大值-3,求实数a的值.

解 因为

的范围
内分三种情况讨论.


-a+4a-1=-3

2







例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3-12 ),其中AF=2,
BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.

解 设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,于是矩形PNDM的面积
S=xy,2≤X≤4.
易知CN=4-x,EM=4-y,且有




二次函数S=f(x)的图像开口向下,对称轴为x=5,故当x≤5时,函数值 是随x的增加
而增加,所以,对满足2≤x≤4的S来说,当x=4时有最大值

例6 设p>0,x=p时,二次函数f(x)有最大值5,二次函数g(x)的最小值为-2,且g(p)=25,f(x)+g(x)=x+16x+13.求g(x)的解析式和p的值.
解 由题设知
f(p)=5,g(p)=25,
f(p)+g(p)=p+16p+13,
所以 p+16p+13=30,
p=1(p=-17舍去).
由于f(x)在x=1时有最大值5,故设
f(x)=a(x-1)+5,a<0,
所以
g(x)=x+16x+13-f(x)
=(1-a)x+2(a+8)x+8-a.
由于g(x)的最小值是-2,于是
2
2
2
2
2
2

解得a=-2,从而
g(x)=3x+12x+10.

3.分式函数的最大值与最小值
2< br>法是去分
母后,化为关于x的二次方程,然后用判别式△≥0,得出y的取值范围,进而定出y的 最
大值和最小值.

解 去分母、整理得
(2y-1)x+2(y+1)x+(y+3)=0.
2
△≥0,即
△=[2(y+1)]-4(2y-1)(y+3)≥0,
2
解得 -4≤y≤1.
时,取最小值-4,
当x=-2时,y取最大值1.
说明 本题求 最值的方法叫作判别法,这也是一种常用的方法.但在用判别法求最值时,
应特别注意这个最值能否取到 ,即是否有与最值相应的x值.

解 将原函数去分母,并整理得
yx- ax+(y-b)=0.
因x是实数,故
△=(-a)-4·y·(y-b)≥0,
2
2

由题设知,y的最大值为4,最小值为-1,所以
(y+1)(y-4)≤0,
即 y-3y-4≤0. ②
由①,②得
2


所以a=±4,b=3.

4.其他函数的最大值与最小值
处理一般函数的最大值与最小值,我们常常用不等式来估计上 界或下界,进而构造例子
来说明能取到这个上界或下界.

解 先估计y的下界.

又当x=1时,y=1,所以,y的最小值为1.
说明 在求最小(大)值,估计 了下(上)界后,一定要举例说明这个界是能取到的,才能
说这就是最小(大)值,否则就不一定对了. 例如,本题我们也可以这样估计:

但无论x取什么值时,y取不到-3,即-3不能作为y的最小值.
例10 设x,y是实数,求u=x+xy+y-x-2y的最小值.
分析 先将u看作是x的二次函数(把y 看作常数),进行配方后,再把余下的关于y的
代数式写成y的二次函数,再配方后,便可估计出下界来 .
22

又当x=0,y=1时,u=-1,所以,u的最小值为-1.
例11 求函数

的最大值,并求此时的x值,其中[a]表示不超过a的最大整数.





【练习】
1.填空:
(1)函数y=x+2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____,最大值是_______.
2

(3)已知函数y=x+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4,则a=_____.
是_______.
(5)设函数y=-x-2kx-3k-4k-5的最大值是M,为使M最大,k=_____.
22
2

2.设f(x)=kx+1是x的函数,以m(k)表示函数f(x )=kx+1在-1≤x≤3条件下的最大
值,求函数m(k)的解析式和其最小值.
3.x ,y,z是非负实数,且满足x+3y+2z=3,3x+3y+z=4.求u=3x-2y+4z的最大值与最小值.
4.已知x+2y=1,求2x+5y的最大值和最小值.
222
交点间的距
离的平方最小,求m的值.
6.已知二次函数y=x+2 (a+3)x+2a+4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α,
β,当实数a变动时,求(α-1 )+(β-1)的最小值.

22
2

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