高中必修四三角函数公式圆柱的表面积案例

2020年10月12日发(作者：郦权)
《圆柱的表面积》教学案例
教材分析：
《圆柱的表面积》是北师大版六年级上册第 一单元第二节课。在
学习长方体和正方体的表面积时，学生已经理解了表面积的含义，这
是圆柱 表面积学习的基础。圆柱的表面是由两个相同的底面和一个侧
面构成的，计算圆柱底面面积就是计算圆的 面积，对学生来说不是新
知识，所以教材把探索圆柱侧面积的计算方法作为重点。本堂课的教
学 设计思路是一种以学生为主体，通过自主探索，合作交流的方式获
取知识的课堂教学模式。它改变了以教 师讲授为主的课堂，重在培养
学生经过自主探索、小组合作交流的方式获取解题思路的能力，问题
的设计开放，小组活动的开展扎实、有效，呈阶梯性的练习题的设计
既巩固了本课的基础知识，又拓展 延伸至实际生活中，具有实用性、
挑战性，不仅能激发学生的学习兴趣，而且能够满足学生的求知欲。
教学目标：
1、通过想象、操作等活动，知道圆柱的侧面积展开后可以是一
个长方形 ，加深对圆柱特征的认识，发展空间观念。
2、结合具体情境和动手操作，探索圆柱侧面积的计算方法 ，掌
握圆柱侧面积和表面积的计算方法，能正确计算圆柱的侧面积和表面
积。
3、能 根据具体情境，灵活运用圆柱表面积的计算方法解决生活
中一些简单的问题，体会数学与生活的联系。
4、培养学生善于发现、交流、总结的学习习惯。
教学重点：
动手操作展开圆柱的侧面积
教学难点：
圆柱侧面展开图的多样性，并能够将展开图 与圆柱体的各部分建
立联系，并推导出圆柱侧面积、表面积的计算公式。
教学准备：
长方形纸、剪刀、自制圆柱体。
课前准备：
师：请同学们拿出自己做的圆柱体让老 师欣赏欣赏。大家在制作
过程中都遇到了哪些问题？说说你们的制作感受。
生1：我在做圆柱 体的时候，先做好一个长方形，卷成圆筒，再
做两个圆形的底面。第一次底面做小了，改了好几次，才刚 刚好。
生2：我也遇到了相同的问题，看似简单圆柱体还真的不好做。
师：他们经过自己反复地试验制作好了圆柱，这种坚持不懈的精
神值得我们学习。
生3：老师，我制作的方法又准又快！
师：哦，说说看。
生3：（向全班学生展示 自己做的圆柱体）我在做圆柱体的时候，
先做好两个大小完全相等的圆，并计算出它们的周长，再以它们 的周
长加1厘米为长做一个长方形（这一厘米用来粘贴），最后把它们粘
贴起来就是一个圆柱体 了。
生4：嗯，这个办法好，只要认真做，一次就可以做好了。
师：多动脑就会事半功倍。现在大家说说，做得不太好的同学的
问题出在哪里呢？
生 5：做的不好是因为没有注意到圆柱体的侧面展开是个长方形，
这个长方形的长就是圆柱体的底面周长， 所以在制作的时候一定要注
意到这一点，先做好两个面积相等的圆，算出它的周长，并把这个长
度作为长方形的长画出侧面，还要注意留一点宽度来粘贴，这样就不
会出现上面的问题了。
……
（点评：通过欣赏制作的圆柱，学生谈制作感受，不仅了解学生
的已有知识，同 时通过设疑激起学生主动参与的兴趣，为新授打下良
好的基础。）
教学过程：
一、创设情境，提出问题。
师：这节课我们一起探究有关圆柱的问题。（多媒体出示）如图，
做一个圆柱形纸盒，至少需要用多大面积的纸板？（接口处不计）
师：你是如何理解这个问题的？
生1：实际上就是求圆柱的表面积。
师：大家摸一摸手中的圆柱的表面，说说它的表面包括哪几部
分？
生2：两个圆形的 底面和一个侧面。我知道了，求圆柱的表面积
就是用两个底面的面积加上侧面的面积。
生3： 圆柱的底面积用S=πr
2
来计算，只要想办法求出圆柱的侧
面积就好了。
师：是啊。可是圆柱的侧面是一个曲面，曲面的面积怎么计算呢？
生1：怎样能把曲面图形转化成学过的 平面图形呢？
生2：可以把曲面剪开，然后展开成一个平面图形。
师：请大家猜一猜，如果 我们将圆柱体的侧面(也就是这个圆柱
形纸盒)展开，会是什么形状的呢？
生3：长方形吧。
生4：可能是正方形，也可能是平行四边形吧……
（点评：从理解题意入手，让学生结合实物 摸一摸，自己观察、
发现，理解圆柱的表面积的含义，认识到圆柱的表面积等于圆柱的侧
面积和 两个底面面积之和。教学侧面积的计算方法时，让学生先猜测
圆柱侧面展开图的形状，进而引发学生探索 圆柱侧面积计算方法的欲
望。）
二、自主探究，合作交流。
师：现在请大家在小 组内选一个制作的最好的圆柱，以小组为单
位展开圆柱的侧面，看看你们的猜想对吗？
1、师多媒体出示操作活动要求：
(1)将圆柱体的侧面展开，看看得到一个什么图形？
(2)观察这个图形各部分与圆柱体有什么关系？
(3)温馨提示：操作时注意安全。
2、小组内展开活动。
3、小组汇报。
生1：（拿出组内作品展示汇报）我们组的 圆柱体侧面展开后是
一个平行四边形，我们发现这个平行四边形的底就是原来圆柱的底面
周长， 平行四边形的高就是原来圆柱的高。
生2：（拿出组内作品展示汇报）我们组的圆柱体侧面展开后是< br>一个长方形，我们发现这个长方形的长就是原来圆柱的底面周长，长
方形的宽就是原来圆柱的高。
生3：（拿出组内作品展示汇报）我们组的圆柱体侧面展开后成
了一个正方形，我们发现这个正 方形的边长就是原来圆柱的底面周
长，同时也是原来圆柱的高。
师：通过这几位同学的汇报，你发现了什么？
生4：我发现不管圆柱的侧面展开成长方形，还 是正方形，还是
平行四边形，圆柱的侧面积都是用底面周长乘高来计算。
师：如果用S侧表示圆柱的侧面积，C表示底面周长，h表示高，
谁来说一说侧面积怎么计算。
生5：S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh
师：同学们总结得非常好，求圆柱的表面 积，关键还是求它的侧
面积。现在同学们会计算圆柱的表面积了吗？
生6：圆柱的表面积等于2个底面面积加侧面积，即S表=2π
r
2
+Ch。
（点评：只有通过自身的实践和主动的参与才能领会知识的真
谛。我给了学生足够的时间去探究 ，去发现、去总结，给每个学生参
与数学活动的机会，真正使学生在动手中学习，在动手中思维，学生< br>用不同的方法展开了侧面，却得到了相同的侧面积计算方法。从而让
学生体验知识的生成过程，并 感受成功的喜悦。）
三、尝试应用，解决问题
1、解决创设情境环节中的问题。
（1）给出学生圆柱的有关数据：半径为10厘米，高为30厘米。
（2）学生尝试计算圆柱体纸板的表面积。选1人板演，其余学
生在课堂练习本上完成。
侧面积：2×3.14×10＝1884（平方厘米）
底面积： 3.14×10
2

＝3.14×100
＝314（平方厘米）
表面积：1884+314×2=2512（平方厘米）
（3）集体交流并纠错。
2、请各组测量自己制作的圆柱的有关数据，试着求出它的表面
积。
（1）学生测量并计算。
（2）小组汇报。
（3）生1：我们组测出圆柱的底面半 径是5cm,高是20cm，用S=
πr
2
算出底面积是78.5cm
2，用S=2πrh求出侧面积是628cm
2
，最后
用侧面积+底面积×2，求出 圆柱的表面积是706.5cm
2
。
生2:我们组测出圆柱的底面周长是18.84 cm,高10cm，用S=ch
求出侧面积，r=C÷π÷2 求出半径代入S=πr
2
求出底面积，最后用
侧面积+底面积×2求出圆柱的表面积是244.92cm
2
。
生3:我们组测的是圆柱的底面直径是8cm,高8cm，我们用S=π
dh求侧面积，用r= d÷2求出半径，再用S=πr
2
求出底面积，最后用
侧面积+底面积×2求出圆柱的 表面积是301.44cm
2
。
……
师:看来要根据所给的条件灵活运用公式来计算圆柱的表面积。
3、多媒体出示：如图，做一 个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直
径为20厘米，高为24厘米，至少需要多大面积的铁皮？
（1）齐读题
师：读题之后，你想提醒同学们注意什么？
生：这道题是求做这个水 桶要用铁皮多少平方厘米。实际上是求
这个圆柱形水桶的表面积，题里告诉我们是 “一个没有盖的圆柱形
铁皮水桶”，计算时就是用侧面积加上一个底面积．
（2）多人板演，其余同学在课堂练习本上完成。
侧面积：3.14×20×24＝1507.2（平方厘米）
底面积：3.14×（20÷2）
2
＝3.14×10
2

＝3.14×100
＝314（平方厘米）
需要铁皮：1507.2＋314＝1821.2≈1900（平方厘米）
答：做这个水桶要用1900平方厘米．
（3）集体交流并纠错。
4、介绍“进一法”
师：如果用“四舍五入”法保留需要铁皮1800平方厘米，够不
够呢？（不够）所以，这里不能用“四舍五入”法取近似值。在实际
中，使用的材料都要比计算得到的 结果多一些，因此，要保留整百平
方厘米，省略的十位上即使是4或比4小，都要向前一位进1．这种< br>取近似值的方法叫做进一法．
师：我们还要注意在不同的情境中要选择不同的计算方法。如计< br>算制作一个通风管需要多少平方米的铁皮，方法是什么？
生1：只需要计算它的侧面积。 （点评：课堂练习既要巩固新知识，沟通新旧知识的内在联系，
还要发展学生的智力。因此，本节课 我设置的练习由浅入深，分层训
练，逐步形成技能，不仅使学生掌握圆柱表面积计算公式，并能灵活运用公式进行计算，根据实际情况解决生活中的问题，从中体会数学
与生活之间有着紧密地联系。）
四、归纳总结，提升课堂。
师：这节课我们所研究的是有关圆柱表面积的计算问题．请大家< br>说说你们的收获。（生汇报收获）
师归纳：今天同学们通过动手操作将圆柱的侧面展开，转化成 学
过的平面图形，进而探究出圆柱的侧面积及表面积的计算方法，在实
际应用时，我们要根据实 际灵活选择公式进行计算．如计算油桶的表
面积是侧面积加上两个底面积；计算无盖的水桶的表面积是侧 面积加
上一个底面积；计算烟筒的表面积只求侧面积．另外，在生产中备料
多少，一般采用进一 法，就是为了保证原材料够用。
板书设计：
圆柱体的表面积
圆柱的侧面积 ＝ 底面周长×高 → S侧＝ch
↓ ↑ ↑
长方形的面积 ＝ 长 × 宽
圆柱的表面积 ＝ 圆柱的侧面积＋底面积×2
教学反思：
本节课之前，我给学生布置了制 作一个圆柱体的手工作业，激发
了学生学习的积极性，同时为本节课的学习作了铺垫。课堂上我让学生动手将自制圆柱体展开，让学生组内进行实践探索，再互相交流启
发，推导出圆柱表面积计算公式 ；还为学生提供了基本题以及多向思
维的题目，引导学生善于联想所学的知识，从不同的角度、不同层次 、
不同方法分析问题，使学生开阔思路，思维灵活，从而轻而易举地解
决问题。使不同的学生都 能得到不同的发展，从中体会到学习数学的
快乐。总体感觉有如下收获：
1、学生主体性得到充分发挥，课堂气氛活跃，师生配合愉快。
2、自主探索与合作交流的相结合，取得良好的教学效果。
通过这节课的教学，我深深地体会 到数学教学不仅要让学生知其
然，还要让学生在实践操作中知其所以然，教学的关键是掌握解决问
题的方法，培养学生的动手、动口和动脑能力，更重要的是激发学生
学习数学的兴趣，让他们自主参与 到数学学习中来。