三角函数代换公式坐标变换在高等数学中的应用

2020年10月12日发(作者：姬发)
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坐标变换在高等数学中的应用

作者：郑莉芳 申思远 任淑青

来源：《价值工程》2016年第01期

摘要：坐标变换是高等数学中解决一些具体问题的有力工具，如在重积分的计算中，常用
的有极坐标变换 、球面坐标变换等.本文主要介绍坐标平移变换和坐标旋转变换在二重积分的
计算、曲线段绕定直线旋转 所得旋转体的体积以及解析几何中确定所截图形的几何形状三个方
面的应用，并得出坐标平移和旋转变换 在二重积分计算中的一个好用的结论。
Abstract： The coordinate transformation is a powerful tool to solve some specific problems in
college mathematics. The polar coordinate transform， spherical coordinate transformation are
commonly used in calculation of double integral. This paper mainly introduces the application of the
three aspects of the coordination transformation and rotation transform， the calculation of double
integral， volumes of revolution around a fixed line and analytic geometry shape geometry.
关键词：坐标平移变换；坐标旋转变换；旋转体
Key words： coordination transformation；rotation transformation；revolution
中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）01-0189-02
0 引言
坐标变换是解决某些实际问题的有力工具，现已广泛应用于物理学、计算机 、地理学、光
学等各个领域。高等数学中坐标变换应用也十分广泛，如计算二重积分时，若积分区域为圆 域
（或一部分）或被积函数中含有x2+y2，一般用到极坐标变换；计算三重积分时，若积分区域为球域（或一部分）或被积函数中含有x2+y2+z2时，一般需要用球面坐标变换来简化计算，
但是对初学高等数学的人而言，大多对坐标变换的本质和用途感到迷惑。高等数学中求一条曲
线绕坐标轴 旋转所得旋转体的体积可以直接代入公式得到，但对于一条曲线绕非坐标轴的定直
线旋转所得旋转体的体 积，多数人觉得无计可施；解析几何中一个曲面被平面所截得的图形形
状是什么，这可以通过具体的实物 实验得到，但却是不严谨的，如何得到所得截面图形的方程
呢？当前关于坐标变换的横向发展应用的研究 文献相当广泛，如文献[1-5]，但对其纵向发展应
用，尤其对以上所提问题的基础研究文献少之又少 ，基于此，文章结合高等数学中一些重难点
问题从三个具体方面深刻讨论了坐标平移变换和坐标旋转变换 的本质和应用，解决了高等数学
中这些难点问题和大家对坐标变换应用的疑惑。
坐标平移变换是指坐标系沿某个方向移动一定的距离，平移变换中坐标轴的方向不变，只
是坐标原点的位 置变化。平面直角坐标系xoy沿某一方向平移后变为x′o′y′坐标系，坐标变换
公式为x=x′+ hy=y′+k，空间直角坐标系坐标平移公式类似。