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两点的中点坐标公式两角和与差的余弦公式证明

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-13 05:38
tags:和差公式证明

历史乱套-国内外

2020年10月13日发(作者:卢肇钧)
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

沈阳市教育研究院 王恩宾
两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式都是在此公式
基础上变形得到的, 因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式,往
往得到了广大教师的关注. 对于不 同版本的教材采用的方法往往不同,认真体会各种不同
的两角和与差的余弦公式的推导方法,对于提高学 生的分析问题、提出问题、研究问题、
解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五 种常见推导方法归纳如下:

方法一:应用三角函数线推导差角公式的方法

设角α的终边与单位圆的交点为P
1
,∠POP
1
=β,则∠POx=α-β .


过点P作PM⊥x轴,垂足为M,那么OM即为α-β角的余弦线,这里要用表 示α,β
的正弦、余弦的线段来表示OM.

过点P作PA⊥OP
1
,垂足为A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,再过点P作PC⊥AB,垂
足为C,那么cosβ=OA ,sinβ=AP,并且∠PAC=∠P
1
Ox=α,于是OM=OB+BM=OB
+ CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.

综上所述,.

说明:应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了,构思巧妙,容易理解. 但这种推
导方法对于如何能够得到解题思路,存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式
是在
广问题.

方法二:应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

1
< br>均为锐角的情况下进行的证明,因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推
设P
1
(x
1

y
1
),P
2
(x
2

y
2
),则有|P
1
P
2
|=
在直角坐标系内做单位圆,并做出任意角α,α+β和
.
,它们的终边分别交单位圆
于P
2
、P
3
和P
4
点,单位圆与x轴交于P1
,则P
1
(1,0)、P
2
(cosα,sinα)、P3
(cos(α+β),
sin(α+β))、.



∵,且
∴,∴,





∴,

∴,.

说明:该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起,利用单位 圆上与角
有关的四个点,
建立起等式关系,通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求
的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中,推导思路的产生是一个难点,另外对于
三点在一条直线和
说明.

2

三点在一条直线上时这一特殊情况,还需要加以解释、
方法三:应用余 弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设,

则.

在△OPQ中,∵,


∴,

∴.

说明:此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数,所以构造
出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函 数又需要和这两个角的三角函数
建立起等式关系,因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关 系容易出现,因
此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习
完余弦定理的前提下才能使用,因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑
三点在一条直线上的情况.

方法四:应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法

设α、β是两个任意角,把α 、β两个角的一条边拼在一起,顶点为O,过B点作OB
的垂线,交α另一边于A,交β另一边于C,则 有S

OAC
=S

OAB
+S

OBC ..

3


根据三角形面积公式,有





.




,∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.
根据此式和诱导公式,可继续证出其它和角公式及差角公式.
(1)sin(α-β)=si n[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ- sinβcosα;
(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α) -β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)
=cosαcosβ- sinαsinβ;
(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)- sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
说明:此种推导方法通过三角形的 面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函
数和联系在一起,体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的
证明,因此同样需要将角的范围进行拓展.
(五)应用数量积推导余弦的差角公式


在平面直角坐标系xOy内,作单 位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位
圆的交点为A,B,则

=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ).

由向量数量积的概念,有
由向量的数量积的坐标表示,有

.

4

.

于是,有.

说明:应用数量积推导余 弦的差角公式无论是构造两个角的差,还是得到每个角的三角函
数值都是容易实现的,而且从向量的数量 积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将
二者之间结合起来,充分体现了向量在数学中的桥梁作用 .
综上所述,从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出,不同的推导方
法体现 出不同的数学特点,不同的巧妙构思,相同的结果,也进一步体验了数学的博大精
深.



5

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