两点之间坐标公式三角形的重心、垂心、内心、外心知识讲解

2020年10月13日发(作者：邬美珍)
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一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形 五心
定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心 。三中线交于一点
可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均
匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重
心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组 成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的
距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标 的算术平均数，即其重心坐标
为（(X1+X2+X3)3，（Y1+Y2+Y3)3。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三
角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O
是△AB C的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A
为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为
钝角三角形时，外心在三角形外部；当三 角形为直角三角形时，外心在斜边上，
与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时 变量：d1，d2，
d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2= d1d3，
c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)2c，(c1+c3)2c，(c1+c2)2c )。
5、外心到三顶点的距离相等

三、三角形垂心定理

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂
心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四
点圆。 2、三角形外心O、重心G 和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此
直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为
此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积
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相等。 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，
连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=
∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=
∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AEAO=ADAC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=
∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因
此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质： 1、三
角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形
的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P为
ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向
量PA+b×向 量PB+c×向量PC)(a+b+c). 4、O为三角形的内心，A、B、C
分别为三角形的三 个顶点，延长AO交BC边于N，则有
AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、点O是平面ABC上任意一点，点I是
△ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量
0． 6、、(欧拉定理)⊿ABC中， R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O
和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 7、（内角平分线分三边长
度关系） △ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、
AC、AB于Q、P、R， 则BQQC=cb, CPPA=ac, BRRA=ab.

五、三角形旁心定理

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，
叫做三角形的旁心。 旁心的性质： 1、三角形一内角平分线和另外两
顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都
有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。 如图，点M就是△ABC的< br>一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个
三角形有三个旁心 ，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三
角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关三角形五心的诗歌

三角形五心歌（重外垂内旁） 三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五
心性质很重要，认真掌握莫记混． 重 心 三条中线定相交，交点位置
真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段
之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 外 心 三角形有六
元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为
外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 垂 心 三
角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直
角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内
心 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有
根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此
定义理当然． 五心性质别记混，做起题来真是好
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