每笔手数公式高一数学知识点：幂函数

2020年10月13日发(作者：彭祥松)
高一数学知识点：幂函数
掌握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，下面是
精品学习网高中频道为大家整理的幂函数公式大全，希望对广大朋友
有所帮助。
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，
指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，
则x肯定不能为0，不过这时函 数的定义域还必须根[据q的奇偶性
来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域
为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于
0的所有实数。当x为不同 的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时 ，则只
有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才
进入函数的值域
性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的
特性：
首先我们知道如果 a=pq，q和p都是整数，则x^(pq)=q次根
号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域 是R，如果q是偶数，
函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则
x =1(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此
可以看到x所受到的 限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是
0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我 们就可以知
道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是
偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，
a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的
不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不 过这时函数的定义域还必
须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，
这 时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数
的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函
数在第一象限的各自情况.
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函
数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂
函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无界。
高一数学知识点：指数函数、函数奇偶性
指数函数的一般形式 为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知
道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1）指 数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大
于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的 定义域不存在连续
的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单
调递减的。
（5）可以 看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的
过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近 于Y轴与X轴的
正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴
的负半轴的 单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增
的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
奇偶性
注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
1．定义
一般地，对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，
那么函数f( x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，< br>那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x) =-f(x)与
f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为
既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与
f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，
称为非奇非偶函数 。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域 一定关于原点对称，如果一个函数的定义
域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点
对称，然后再严格按照奇、 偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)
比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2．奇偶函数图像的特征：
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于
y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
点（x，y）→（-x，-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递
增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算
(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶
函数.
(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.