钢筋下料长度计算公式排列组合公式整理

2020年10月13日发(作者：卜泰)
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※排列定义
从n 个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为
从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成 的集合用 P(n,r)表示。排列的个
数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重 即无重。可重排列的相
应记号为 P(n,r),P(n,r)。
※组合定义
从n 个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑
其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组 合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重
组合
有记号C(n,r),C(n,r)。
※排列组合的基本理论和公式

排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，
2＋3＋1的和与2＋1＋3 的和是一个组合．
(一)两个基本原理(是排列和组合的基础)
(1)加法原 理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有
m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种 不同的方法，……，在第n类办
法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋ …＋mn种
不同方法．
(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1
种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不
同的方法， 那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．
这里要注意区分两个原理 ，要做一件事，完成它若是有n类办法，是
分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做 一件事，需
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要分n个步骤，步与步之间是连续的， 只有将分成的若干个互相联系的步
骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个
原理区分开来．

(二)排列和排列数
(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照 一定的顺序
排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
从排列的意义 可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须
完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告 诉了我们如何判断两个
排列是否相同的方法．
(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列
当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！
(三)组合和组合数
(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从组合的定义知，如果两个组合中的元素完 全相同，不管元素的顺序
如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不
同的组合．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m
≤n)个元素，“按 照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”
这是有本质区别的．
※[例题分析]

1．首先明确任务的意义
例1. 某城 市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距
相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图 中路线前进，则从M到N
有多少种不同的走法?
分析：对实际背景的分析可以逐层深入
（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确
定走法数，
∴ 本题答案为：=56。
2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还
是组合
例2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的
取法有________。
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(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种
方法；
（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因
而共240种。

3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例3．对某件产品的6件不同 正品和4件不同次品进行一一测试，
至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现 ，则
这样的测试方法有多少种可能?
分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并 且是最后一个次品，
因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；
第二步：前四次有一件正品有C(6.1)中可能。
第三步：前四次有P(4.4)种可能。
∴ 共有种可能。
4．捆绑与插空
例4. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同
的情况?
分析：∵ 连 续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个
插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必 计数。即在四发空枪之间
形成的5个空中选出2个的排列，即P(5.2)。

4．间接计数法.(1)排除法
例4．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共C(8.4)-12=70-12=58个。
5．挡板的使用
例5．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同
的分配方法?
分 析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，
选出七个位置放置档板，则每一种 放置方式就相当于一种分配方式。因而
共36种。
6．注意排列组合的区别与联系：所 有的排列都可以看作是先取组合，
再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
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例6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，




























(1)可组成多少个不同的四位数?
(2)可组成多少个不同的四位偶数?
(3)可组成多少个能被3整除的四位数?
(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排 成一数列，问第85项是什么?
分析：（1）有个。
（2）分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。
∴ 共+种。
（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96种。
（4）首位为1的有=60个。
前两位为20的有=12个。
前两位为21的有=12个。
因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。
7．分组问题
例7. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为
_______。
分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。
第一类：平均分成3人一组，有种方法。
第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。
（二）再考虑分别上两辆不同的车。
综合（一）（二），有 种。