女汉子真爱公式结局容斥原理公式及运用

2020年10月14日发(作者：慎东美)
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容斥原理公式及运用


在计数时，必须注意无一重 复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究
出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不 考虑重叠的情况，把包含于
某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥 出
去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理
。

一、容斥原理1：两个集合的容斥原理

如果被计数的事物有A、B两类，那么，先 把A、B两个集合的元素个数相加，发
现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图 所示。


【示例1】 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文 得满分，
并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
数学得 满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至
少有一门得满分人数→A∪ B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B 、C三个集合的元素个数相加
后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2 次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复
计算了1次，黑色部分A
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∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A ∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩
C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C） -2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即
得到：




【示例2】 某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的< br>有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的
有12人，足球 、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项
都参加的有多少人？
参加足球 队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，
足球、游泳都参加的→C∩ A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B
∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪ C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩
A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
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