竞价扣费公式旋转体的计算六年级奥数

2020年10月15日发(作者：师鼐)
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第七讲 旋转体的计算
分别以矩 形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底
边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成 的曲面所围成的几何体
分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）．

旋转轴叫做它们 的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于
轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴 的边旋转而成的
曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母
线．
圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面
的周长．由此可得
S
圆柱侧
＝2πrl，
其中l是圆柱侧面的母线长，r是底面半径（下左图）．

圆锥的侧面展开图是一个扇 形，如上页下角图这个扇形的半径是圆
锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得

其中l是圆锥侧面的母线，C是圆锥底面的周长，r是圆锥底面的半
径．
圆 台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的
侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形 ．这个扇环形的宽是圆台侧面
的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得

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其中l是圆台侧面母线长， C上、 C下分别是圆台上底和下底周长，
r上、 r下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）．

圆柱的体积等于它的底面积S与高h的乘积，即
V
圆柱
＝Sh＝πr
2
h，其中r为圆柱底面的半径．
圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的三分之一，

圆台的体积是

其中，r
上
、r
下
分别是上底和下底的半径．
例1 甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的
1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米， 求甲、乙两桶的高度．
分析与解答 如下图．

由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为1.5r；
甲桶高度为h，则乙桶高度为h＋25，
则π（1.5r）2h＝πr
2
（h＋25），
2.25r
2
h＝r
2
（h＋25），
2.25h＝h＋25，
∴h＝20（厘米），h＋25＝45（厘米）．
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答：甲桶高度为20厘米，乙桶高度为45厘米．
例2 一块正方形薄铁 板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，
边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围 成一个圆锥筒，
求它的容积（结果取整数部分）．

筒底的周长＝2πr＝11π，解得r＝5.5厘米．

因为母线长是22厘米，所以圆锥的高

答：所求圆锥筒的容积约为674立方厘米．
为2米，圆锥的高为1米，这堆谷重约多少公斤（谷 的比重是
每立方米重720公斤，结果取整数部分）？




答：这堆谷子重约306公斤．
例4 有一个倒圆锥形的容器，它 的底面半径是5厘米，高是10厘米，
再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度．
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解：如上页图，设石子取出后， 容器内水面高度为x厘米，则倒圆
锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积．根据体积公式有

x
3
＝(5
2
×10－196）×4＝54×4 ＝27×8＝3
3
×2
3
，
∴x＝6．
答：石子取出后，容器内水面的高为6厘米．
例5 有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆 台形，圆锥的高
为0．7米，底面圆周长为6.28米，圆台的高为1.5米，下底面周长为
4 .71米．如果每立方米草约重150公斤，求这垛草的重量（结果取整数
部分）．

分析与解答

圆锥的体积：


圆台上底半径：r
上
＝r＝1米，

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∴草垛体积为：
V
圆锥
＋V
圆台
＝0.73＋3.63＝4.36（立方米），
故草垛的重量为：150×4.36＝654（公斤）．
答：草垛约重654公斤．
例6 如下右图，在长为35厘米的圆筒形管子的横截面上，最长直线
段为20厘米，求这个管子的体积．

分析 如上左图，AB是截面圆环的最长直线段，O是截面圆环的圆
心．过O作AB的垂线，垂足是C，以 O 为圆心，以OC为半径作圆，
即管截面的内圆周．连结AO，根据勾股定理有：AO
2
＝AC
2
＋CO
2
，
∴AO
2
－OC
2
＝AC
2
，同理AO
2
－OC
2
＝BC
2
，
∴S
圆环
＝π·AO
2
－π·OC
2
＝π·（AO
2
－OC
2
）

解：先求出管子横截面的圆环面积为

则管子的体积为：
π·r
2
外径
·h－πr
2
内径
h＝圆环面积×h
＝100π×35＝3500π（立方厘米）
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答：这个管子的体积为3500π立方厘米．
例7 一个长方形的长为1 6厘米，宽为12厘米．以它的一条对角线
为轴旋转此长方体，得到一个旋转体．求这个旋转体的体积． （结果中
保留π，即不用近似值代替π．）

分析与解答 如下图，
记这个长方形为ABCD，对角线AC的中点为O．过O作EF垂直
于AC，分别交 BC、 AD于 E、 F．由对称性知道：
EO＝OF．
设P为AO上的任一点，过P作AO的垂线，分别交折线ABE和线
段 AF于 M和N，那么
MP＞PN．
因此，四边形ABEF绕AC旋转得到的立体即为四边形ABEO绕< br>AC旋转得到的立体．同样，四边形CDFE绕AC旋转得到的立体即为四
边形CDFO绕AC旋 转得到的立体．并且，由于对称性，四边形ABEO
与CDFO是完全一样的，因此由它们绕AC旋转得 到的立体也是完全一
样的．这样，这两个立体的体积相等．所以，长方形ABCD绕AC旋转
得 到的立体的体积等于四边形ABEO绕AC旋转得到的立体的体积的两
倍．
记由长方体A BCD绕AC旋转得到的立体为W，由四边形ABEO绕
AC旋转得到的立体为U，由△ABB'（B' 在AO上，BB'垂直于AO）、
四边形BEOB'绕AC旋转得到的立体分别记为U
1
、U
2
．显然，U
1
与U
2
有一条公共的边界（由BB' 旋转而成的圆），且U
1
与U
2
合成U．
因此V
w< br>＝2V
U
＝2（V
U1
＋V
U2
）．
由AB＝12厘米，BC＝16厘米及勾股弦定理得：

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BB'＝9.6厘米．
在直角三角形ABB'中再用勾股弦定理，得
AB'＝7.2厘米，所以B'O＝AO－AB'＝2.8厘米．
U
1
是一个圆锥，底面半径BB'＝9.6厘米，高AB'＝7.2厘米，所以

U
2
是一个圆台，它是大、小两个圆锥的差，大圆锥以 BB'为底面半
径，CB'为高，小圆锥以EO为底面半径，CO为高，容易知道
CB'＝CO＋OB'＝12.8厘米，
由EO：OC＝AB：BC可以求出EO＝7.5厘米．
因此

所以

＝853.8π（立方厘米）
答：所求的旋转体体积为853.8π立方厘米．