四介魔方公式排列组合和排列组合计算公式.说课讲解

2020年10月15日发(作者：雍裕之)




排列组合和排列组合
计算公式.
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排列组合公式排列组合计算公式
排列 P------和顺序有关

组合 C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如 把5本不同的书分给3个人,有几种分法. 排列
把5本书分给3个人,有几种分法 组合
1．排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成
一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列；从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从
n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!(n-m)!(规定0!=1).

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并 成一组，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取
出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的组合数.用符号
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c(n,m) 表示.

c(n,m)=p(n,m)m!=n!((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

3．其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)r=n!r(n-r)!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元
素的全排列数为

n!(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为
c(m+k-1,m).
排列（Pnm(n为下标，m为上标)）

Pnm=n×（n-1）....（n -m+1）；Pnm=n！（n-m）！
（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）
=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n

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组合（Cnm(n为下标，m为上标)）

Cnm=PnmPmm ；Cnm=n！m！（n-m）！；Cnn（两个n
分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；
Cnm=Cnn-m

2008-07-08 13:30

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘 ，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到（n-r+1)个数
为n－（n-r+1)＝r
举例：
Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多
少个三位数？
A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序
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有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不
会出现988,997之类的组合， 我们可以这么看，百 位数有9
种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-
1种可能，最终共 有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝
9*8*7,(从9倒数3个的乘积）
Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一
组，代表“三国联盟”，可以组 合成多少个“三国联盟”？
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计
算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除
掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7 3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1 设有3名学生和4个课外 小组．（1）每名学生都
只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小
组，而且每 个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方
法？
解（1）由于每名学生都可 以参加4个课外小组中的
任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有

种不同方
法．
（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且
每个小组至多有一名学生参加，因此共有

种不同方法．
点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问
都用乘法原理进行计算．
例2 排成一行，其中

不排第一，

不排第二，

不排第
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三，

不排第四的不同排法共有多少种？
解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排

、

、

中
的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方
式逐一排出：
∴ 符合题意的不同排法共有9种．
点评 按照分“类”的思路，本题应 用了加法原
理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的
有效做法，也是解决计 数问题的一种数学模型．
例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出
结果．
（1）高三年级学生会有11 人：①每两人互通一封信，共
通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组
长和一名副组长，共有多少种不同的选法？② 从中选2名参加
省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有2，3，5，7，11， 13，17，19八个质数：①从中
任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两
个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每 人一
盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种
不同的选法？
分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给
甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列 ；②由于每两
人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺
序无关，所以是组合 问题．其他类似分析．
（1）①是排列问题，共用了

封信；②是组合问题，共需
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握手

（次）．
（2）①是排列问题，共有

（种）不同的选法；②是组合
问题，共有

种不同的选法．
（3）①是排列问题，共有

种不同的商；②是组合问题，
共有

种不同的积．
（4）①是排列问题，共有

种不同的选法；②是组合问
题，共有

种不同的选法．
例４ 证明

．
证明 左式



右式．
∴ 等式成立．
点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的
形式，并利用阶乘的性质

，可使变形过程得以简化．
例5 化简

．
解法一 原式




解法二 原式


点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用
阶乘的 性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程
得以简化．
例6 解方程：（1）

；（2）

．
解 （1）原方程


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解得

．

（2）原方程可变为
∵ ，

，
∴ 原方程可化为

．
即 ，解得


第六章 排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些
简单的问题.
2.理 解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和
组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 .
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论
证一些简单问题.
二、知识结构

三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此
两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.
例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且
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只报一所，不同的报名方法共有多少种?
解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报
名，因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原
理，得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=3(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中
较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都 和前面掌握
的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考
查排列的应用题，都是 选择题或填空题考查.
例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，
其中小于50 000的 偶数共有( )
A.60个 B.48个 C.36
个 D.24个
解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P
2
；小
于50 000的五位数，万 位只能是1、3或2、4中剩下的一个
1
的排法有P
3
;在首末两位数排定后 ，中间3个位数的排法有
3131
P
3
，得P
3
P
3
P
2
＝36(个)
由此可知此题应选C.
例3 将数字1、 2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方
格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字 均不
同的填法有多少种?
解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的
数字均不相同的填法有3种，即214 3，314 2，4123；同样将
数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4
1
5
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方格，也对应3种填法，因此共有填法为
3P
3
=9(种).
例四 例五可能有问题，等思考
1


三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合
的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.
例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中
至少有甲型与乙型电视机各1台， 则不同的取法共有( )
A.140种 B.84种 C.70
种 D.35种
解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法 有
1221
C
4
·C
5
种；甲型2台乙型1台的取法有C< br>4
·C
5
种
根据加法原理可得总的取法有
C
4< br>·C
5
+C
4
·C
5
=40+30=70(种 )
可知此题应选C.
例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3
项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种
承包方式?
解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C
8
种；
乙公司从甲公司挑选后余下的5 项工程中选出1项工程的方式
1
有C
5
种；
3
2221
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丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的
2
方式有C
4
种 ；
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2
2
项工程的方式有C
2
种.
根据乘法原理可得承包方式的种数有C 8×C
5
×C
4
×C
2
=

×1=1680(种).
(四)二项式定理、二项展开式的性质
说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，
在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1 998年历届高考
均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，
题型主要为选择 题或填空题.
例6 在(x-

)的展开式中，x的系数是( )
A.-27C
10
B.27C
10
C.-
64
9C
10
D.9C
10

解 设(x-

)的展开式中第γ+1项含x，
因T
γ+1106
64
106
3122
=C
γ
10
x10-γ
(-

)，10-γ=6,γ=4
444
γ
于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C
10
(-

)=9C
10

故此题应选D.
例7 (x-1)-(x-1)＋(x-1)-(x-1)+(x-1 )的展开式中
２
的x的系数等于


解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5
项的和，则其和为 在(x-1)中含x的项是C
6
x(-1)=-20x，因此展开式中x的系
数是 -2 0.
(五)综合例题赏析
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6333332
23５
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例8 若(2x+

)=a
0
+a
1
x+a
2
x +a
3x+a
4
x，则(a
0
+a
2
+a
4
)-
2
(a
1
+a
3
)的值为( )
A.1 B.-
1 C.0 D.2
解：A.
例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每
校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )
A.6种 B.12
种 C.18
种 D.24种
解 分医生的方法有P
2
＝2种，分护士方法有C
4
=6种，所以
共有6×2＝12种不同的分配方法。
应选B.
例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其
中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有
( ).
A.140种 B.84
种 C.70种 D.35
种
解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二
台两种情形.
∵C4
·+C
5
·C
4
=5×6+10×4=70.
∴应选C.
例11 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名
代表，至少有1名女生当选的不同选法有( )
221
22
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A.27种 B.48种 C.21
种 D.24种
解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：
∵C
3
·C 7+C
3
=3×7+3=24，
∴应选D.
例12 由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的 六位
数，其中个位数字小于十位数字的共有( ).
A.210个 B.300个
C.464个 D.600个
解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P
5
·P
5
5
=600个.
由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的
六位数各占一半.
∴有

×600=300个符合题设的六位数.
应选B.
例13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有
( ).
A.70个 B.64个
C.58个 D.52个
解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C
8
=70个.
其中共 面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对
角面的有2组；形如(ADB
1
C
1
)的有4组.
∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)
4
1
112
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应选C.
例14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的
棱所在的12条直线中，异面直线共有( ).
A.12对 B.24
对
C.36对 D.48
对
解：设正六棱锥为O—ABCDEF.
任取一侧棱OA(C
6
)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.
∴共有C6×4=24对异面直线.
应选B.
例15 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点 为
顶点的三角形共 个(以数字作答).
解：7点中任取3个则有C
7
=35组.
其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).
∴三角形个数为35-3=32个.
例16 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3
个元素组成的子集数为T，则

的值
为 。
解 10个元素的集合的全部子集数有：
S＝C
10
+C
10
+C10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C0
1 0
=2 10=1024
其中，含3个元素的子集数有T=C
10
=120
故

=


3

3
1
1
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例17 例17 在50件产品 n 中有
4件是次品，从中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共
种(用数字作答).
解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.
∴C4
·C
46
+C
4
·C
46
=4186(种)
例18 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、 丙各
需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法
共有( ).
A.1260
种 B.2025种
C.2520
种 D.5040种
解：先从10人中选2个承担任务甲(C
10
)
再从剩余8人中选1人承担任务乙(C 8)
又从剩余7人中选1人承担任务乙(C 7)
∴有C
10
·C 8C 7=2520(种).
应选C.
例19 集合｛1，2，3｝子集总共有( ).
A.7个 B.8个 C.6
个 D.5个
解 三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一
个，由一个元素组成的子集数
C
3
，由二个元素组成的子集数C
3
。
12
21 1
1
1
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由3个元素组成的子集数C
3
。由加法原理可得集合子集的总个
数是
C
3
+C
3
+C
3
+1=3+3+1+1＝8
故此题应选B.
例20 假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽
取5件，其中至少有两件次品的抽法有( ).
A.C
3
C
197
种 B.C
3
C
197
+C
3
C
197

C.C
200
-C
197
D.C
200
-C
3
C
197

解：5件中恰有二件为次品的抽法为C
3
C
197
，
5件中恰三件为次品的抽法为C
3
C
197
，
∴至少有两 件次品的抽法为C
3
C
197
+C
3
C
197.
应选B.
例21 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，
若 8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是
( ).
A.C
8
C
8
B.P
2
C
8
C
8
C.P
8
P
8


5315353
23 32
32
23
55514
232332
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