药物有效期的计算公式极坐标---摆线资料

2020年10月15日发(作者：阮性山)

設滾動圓的半徑為 a，固定圓的半徑為 ka，其中 k 是比 1 大的一個固定數。
又設固定圓的圓心是原點 O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是 A(ka,0)。設
滾動圓到達某個位置時，其圓心為 J、與固定圓的切點為 I，而滾動圓上的定點
移動到 P(x,y)。設以
參數（見圖九）。


為始邊、 為終邊的有向角為 t 弧度，我們以 t 為


圖九


因為弧 IP 與弧 IA 的長度相等，所以，有向角 是 kt 弧度。過 P 與 J 分
別作水平直線與鉛垂直線，則可就 t 的值所屬的各種範圍分別討論（例如：圖
九是 的情形），而得



這就是內擺線的參數方程式。
若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為 d，且在出發時的坐標為
((k-1)a+d,0)，則此定點在
滾動過程中，所描繪曲線的參數方程式為


其次，若將圖九中的滾動圓 改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方法，即可得
外擺線的參數方程式為


其中 k 表示固定圓與滾動圓的半徑之比，。同理，將定點改成與滾動圓圓
心的距離為 d，且在出發時的坐標為 [(k+1)a-d,0]，則可得外次擺線的參數方程
式為



上述四組參數方程式可合併成下述形式：



其中 或 -1，而 、 且 。當 ，上述參數方程式，
時，上述參數方程式，依 d=a 或
依 d=a 或
分別表示內擺線或內次擺線；當
分別表示外擺線或外次擺線。
在圖二中，設 A 點是滾動圓上的定點在出發時的位置。我們選取一個坐標系，
使得 A 點為原點而且滾動圓在 x 軸上向右滾動。假設動圓滾動到某位置時，圓
心為 O，O 點至 x 軸的垂足為 I，圓上的定點的位置為 P(x,y)，以 為始邊，
為終邊的有向角為 t 弧度，P 點至直線 OI 的垂足為 M。又設滾動圓的半
徑為 a。
因為滾動圓上的定點已由A點移動到P點，而滾動圓與x軸的切點已由 A 點轉
移到 I 點，所以，滾動圓上的弧 PI 滾過線段
at。於是，可得
，亦即： = 弧 PI 的長 =


上面的表示法就是擺線的參數方程式。請注意：當
；當 時， 。不過，
時，
與
兩式卻對所有 t 值都成立。我們甚至可讓參數 t 代表任意實數，
如此，擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。x 坐標每經歷一段長度為 的
區間，圖形就恢復原狀。擺線與底線相交的點都是尖點 (cusp)。
當參數 t 由 0 增至 時，擺線就是圖二中由 A 至 C 至 B 的部分，其中
，這一部分圖形稱為擺線的一拱 (arch)。同理，t 由 2π 至 4π、
由 4π 至 6π、……等所對應的圖形也都是一拱。
仿照前面的方法，我們也可求次擺線的參數方程式。假設一定點與滾動圓的圓心
的距離為 d，底線是 x 軸，出發時定點的坐標為 (0,a-d)，其中 d 是滾動圓的
半徑。當動圓滾到圖二所示的位置時，定點的位置在
d。由此可知其參數方程式為
上且與 O 點的距離為



習題：試根據上面參數方程式，說明長擺線 (d>a) 為什麼會與本身相交而形成
迴圈（見圖一的下圖）。
在圖二中，當圓向前滾動時，P 點描繪出擺線，那麼 P 點在直線 OI 上的垂足
M 點會描繪出什麼圖形呢？1634年，Gilles Persone de Roberval（1602～1 675
年，法國人）考慮這條曲線，而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。所以，
後世將 這條曲線稱為 Roberval 曲線。圖二中的虛線，就是 Roberval 曲線在擺
線一拱內的部分，根據前一小節所討論的結果，不難發現 Roberval 曲線的方程
式為 。
在圖二中，
點
的中點是
對
，而當
的對稱點是
時，Roberval 曲線上的
。因為此對稱點
也在 Roberval 曲線上，所以，Robertval 曲線在 A 與 C 間的部分對於點
成對稱。（圖二中的 M 與 N 就是一對對稱點。）由此可知：在以
與 為鄰邊的矩形中，Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。更
與 為鄰進一步可得：Roberval 曲線與 AB 所圍區域的面積，等於以
邊的矩形面積的一半，此值等於 。
其次，我們討論擺線與 Roberval 曲線間的區域面積。此區域在 C 點的左、右
兩側的面積顯然相等，所以，我們只須討論此區域左側部分的面積。圖二中以
為直徑的半圓，乃是滾動圓在出發時的左半部分，直線 PM 被此半圓截出
一線段 。因為兩圓大小相等，而直線 PM 與兩圓圓心等距離，所以， =
。因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長，所以，依據
Bonaventura Cavalieri（1598～1647年，義大利人）在1629年所提出的
Cavalieri 原理，這兩個區域的面積相等。因此，擺線與 Roberbval 曲線所圍
的區域（左、右兩部分）與滾動圓面積相等，此值等於 。
綜合前兩段的結果，可知擺線的一拱與其底線間的面積，等於滾動圓面積的三倍，
亦即：。



圖二


附帶一提：Cavalieri 所提的原理，中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計
算球體的體積。
習題：試仿照本小節的方法，證明次擺線
拱與直線 y=a-d 所圍區域的面積為：
習題：試使用定積分計算上述所提的面積。
。
, 的一
若曲線 C 的所有法線都是某一曲線 E 的切線，則曲線 E 稱為曲線 C 的「漸
屈線」(evolute)。要討論曲線 C 的漸屈線，自然需要先討論曲線 C 的法線，
但因法線是切線的垂直線，所以，我們需要先討論曲線 C 的切線。
擺線的切線如何求呢？我們知道當一動點 P 繞一固定點 I 旋轉時，P 點的軌跡
是一圓弧，此圓弧在 P 點的切線就是過 P 點而與 垂直的直線。當一滾動
圓在 一直線上作不滑的滾動時，我們沒有一個可做為旋轉中心的固定點，但是，
在滾動過程中，滾動圓與底線 在每個時刻都有一個切點，這個切點就是該時刻的
瞬間旋轉中心。若在某個時刻的瞬間旋轉中心是 I，而圓上某定點在此時刻已移
動到 P 點，則此定點所描繪的擺線在 P 點的切線，就是過 P 點而與 垂直
的直線 PJ，其中 J 是滾動圓過 I 的直徑的另一端點，直線 PI 則是此擺線過 P
點的法線。在直線
標是 (
坐標是 (
上選取一點 P'，使 I 點成為 的中點。若 P 點的坐
)，則因為 I 點的坐標是 (as,0)，所以，P' 點的
)。當 P 點描繪出擺線時，所有對應的 P' 點
描繪出什麼圖形呢？觀察 A 與 P' 的相關位置，不難發現它們的位置關係，與
擺線上的 C 點與參數是
(
的 Q 點位置關係相同，因為 C 的坐標是
)。換言之，當 P 點)，而 Q 點的坐標是 (
描繪圖三中的擺線弧 APC 時，對應的 P' 點就會描繪出與擺線 CQB 全等的弧
AP'A。事實上，弧 AP'A' 乃是將弧 CQB 平移而得的（左移 單位、下移 2a 單
位）。同理，當 P 點描繪出擺線弧 CQB 時，對應的 P' 點就會描繪出弧 A'Q'B，
此弧乃是將擺線的下一拱的左半部分作同樣平移而得的。因此，對整個擺線而言，
當 P 點描繪出整個擺線時，對應的 P' 點會描繪出一個全等的擺線。若前者的
參數方程式是
,
,，則後者的參數方程式為
，後者乃是將前者先向左平移 單位，再向
下平移 2a 單位而得的。我們將說明後者是前者的漸屈線。
因為 P' 點的軌跡是一個全等的擺線，所以它必是當一個半徑為 a 的圓在直線
y=-2a 上滾動時，由圓周上某定點描繪而成的。因為 P 點與 P' 點對 I 點對稱，
所以當兩個滾動圓在 I 點相切時，上滾動圓通過 P 點而下滾動圓通過 P' 點。
此時，P' 點的瞬間旋轉中心是直線 P'I' 與直線 y=-2a 的交點 I'。於是，直線 P'I'
是第二個擺線在 P' 點的法線，直線 P'IP 是第二擺線在 P' 點的切線。由此可
知：原擺線的每條法線 PI 都與第二擺線相切。換言之，第二擺線是原擺線的漸
屈線。
曲線的漸屈線在弧長方面有一個重 要性質，這個性質對擺線的討論特別有用，我
們先介紹這項性質。此性質的證明只需使用微積分的方法即 可。
設曲線 E 是曲線 C 的漸屈線，P 與 Q 是曲線 C 上兩點，曲線 C 過 P、Q 的
法線分別與漸屈線 E 相切於 P'、Q'，則在漸屈線 E 上，弧 P'Q' 的長等於
與 兩線段長的差。
在圖四中， 比 小，所以，P'Q' 弧的長等於 。這個性質可
以作下面的幾何解說：假設有一條線纏繞在漸屈線 E 上，現在將一端點拉緊在
P 點，此時，在 P' 往 Q' 的部分，線仍然纏在漸屈線上，但在 P' 往 P 的部
分，則已經拉直成線段。接著，將線繼續拉緊解開，纏在 P'Q' 弧上的線逐漸被
拉成 線段，此時，因為有前面所提的性質，所以，在將線拉緊解開的過程中，線
的端點必定沿著曲線 C 由 P 點移向 Q' 點。
以擺線為例，在圖三中的漸屈線弧 AP'A' 中，不論 P' 點的位置在弧上何處，
AP'A' 弧的長度都是等於 P'A' 弧的長加上線段
趨近 C。因此，擺線弧 AP'A' 的長等於線段
的長。將 P' 趨近 A'，則 P
的長，此值為 4a。因為擺線
弧 AP'A' 與擺線弧 CQB 全等，其長是擺線一拱 ACB 的一半，所以，可知：若
滾動圓的半徑為 a，則擺線一拱的長度為 8a。



圖三


同理，在圖三中，PC 弧的長等於 Q'B 弧的長，此值等於線段
於前的兩倍。因此，若 P 點的坐標是 (
坐標是 (as,2a)，所以，PC 弧的長等於
AP 弧的長為 。
的長，也等
)，則因為 J 的
。於是，
習題：試使用微積分方法證明上述有關擺線的弧長公式。
在力學上，擺線具有很重要的性質，我們首先介紹它的等時性質 (tautochrone
property)。
將擺線的一拱倒轉，亦即：對其底線作鏡射，則此段擺線的最高點 C 變成最低
點，見圖三與五。此時，若一質點從此段擺線上任意點出發，在重力作用下沿擺
線 向下滑，則此質點到達最低點C所需的時間與出發點的位置無關，亦即：從
任意兩相異點出發，它們到達 C點的時間相同。這就是擺線的等時性質。
圖五是由擺線的一拱及其漸屈線等倒置而成，若我們以一 條長為擺線一拱長之半
的線繫住一個擺錘，另一端固定在漸屈線弧 AA'B 的中點 A'。當擺錘擺 動時，
線的上端纏在漸屈線上，而下端有一段拉直。由於線長等於擺線一拱長的一半，
根據前小 節的說明，擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。前段所提的等時性，
則是表示：不論振幅為何，其週期 是個定值，此定值等於
是擺線的滾動圓的半徑，g 是重力加速度。
，其中 a
前段所提的設置，稱為擺線鐘 (cycloidal pendulum)，這是 Christiaan Huygens
（1629～1695年，荷蘭人）在1673年所發明的，它 是其有真正等時性的鐘擺。
要證明前面所提的等時性質，必須使用一些物理與微積分知識，讓我們略 作說明
如下：設倒置的擺線的參數方程式為
滑的出發點 P 所對應的參數為
，質點下
。（我們將參數 t 換成 θ，以
免誤以為它就是時間。）當質點下滑到參數為 θ 的點時，根據能量守恆定律，
質點喪失的位能轉變成動能，所以質點在該處的瞬時速度為
。



圖四


另一方面，弧長 s 的微分為



於是，質點滑落到最低點 C（見圖五）所需的時間為



此值等於 ，與 無關，而擺線鐘的週期則是此值的四倍。前段證明的
細節留給有興趣的讀者自行補足。



圖五


擺線在力學上的另一項重要性質，乃是最速降性質 (brachistochrone
property)，我們說明如下。
若一質點在重力作用下，由 P 點沿著某曲線滑落到較低的 Q 點，設 P 與 Q
不在同一鉛垂直線上，則當滑行的曲線是以 P 為尖點的一段倒轉的擺線弧時，
質點由 P 點滑落到 Q 點所需的時間為最短。這就是擺線的最速降性質。
設 P 與 Q 的坐標分別是 P(x
1
,y
1
) 與 Q(x
2
,y
2
)，x
1
< x
2
且 y
1
> y
2
，而 y=f(x) 是
滿足 f(x
1
)=y
1
與 f(x
2
)=y
2
的一個函數，仿照前小節的方法，可知一質點沿著曲
線 y=f(x) 由 P 點落到 Q 點所需的時間為



在所有此種函數 y=f(x) 中，那一個函數 能使上述定積分的值最小，這個問題乃
是「一個以函數（或曲線）為變數的極值問題」。研究這類問題的 方法稱為「變
分法」(calculus of variation)。它與微積分中討論極值的方法 不相同，而且
也困難得多。探討最速降曲線的問題，乃是變分學的先驅問題之一，一般的變分
學 書籍都會談到這個例子。
在最速降曲線問題中，有一個問題必須交待，那就是：對任意二點 P(x
1
,y
1
) 與
Q(x
2
,y
2
)，x
1
2
且 y
1
>y
2
，有多少擺線以 P 為一尖點而又通過 Q 呢？答案是：
恰有一條。這條擺線是這樣來的。首先，利用微積分或其他方法可以證明：恰有
一個 滿足下式：



然後，令 ，則擺線
過 P 與 Q，而且 P 是一個尖點。
, 通
給了 P、Q 兩點，我們怎麼作出這樣的擺線呢？任取一圓，使它與過 P 的水平
直線切於 P 點且圓在水平直線下方。讓圓在水平直線下滾動，設定點 P 的軌
跡與直線 PQ 交於 Q' 點。另取一圓，其半徑與前一圓的半徑之比為
，則將後一圓在過 P 的水平直線下滾動時，定點 P 所描繪的軌跡，
就是以 P 為一尖點且通過 Q 的擺線。
前段所提的作法，事實上與擺 線的一項性質有關。若兩擺線的底線重合，且有一
尖點重合，則其中任一擺線都可由另一擺線以重合尖點 為中心，放大或縮小而得。
換言之，任意二擺線部是相似的曲線。