直角梯形形心公式-电磁振荡的周期和频率

2020年10月15日发(作者：荣恒)
电磁振荡的周期和频率
一、教学目标
1．理解LC振荡电路的固有周期（或固有频率）的决定因素．
2．会应用公式定性分析讨论有关问题，并能正确应
用公式进行相关的计算．
3．通 过演示实验（改变LC回路的电感L或电容C），观察振荡电流的周期、
频率的变化情况，分析、归纳得 到L大、C大周期长的结论，培养学生分析综合
能力及理解能力．
二、重点、难点分析
1．LC振荡电路的周期公式、频率公式是教材的重点内容．通过实验现象的
观察得到 ；电路中振荡电流的周期、浙率随着LC回路中的电感L或电容C的改
变而改变，并定性地得到电感L大 （小）、电容C大（小）周期长（短）的结论．如
有条件可用秒表测量周期，进行简单测量、计算，用比 例法进行估算T与L、C
值的关系，将会更有说服力．
2．分别从电容器的充放电作 用和电感线圈的自感作用，对公式进
行定性分析．说明如何理解L大、C大周期长的结论．以利于加深对 公式的理解，
并有利于培养和提高学生的理解能力和分析能力．
3．应用公式或进行计算时，要强调公式中各个物理量
的单位；
各单位都要使用它们的国际单位制中的主单位．
三、教具
1．LC振荡回路示教板，准备两个以上电感不同的线圈（可拆变压器的2 20V
线圈）和电容器，如有条件可备用电压较高的直流电源（例如 45V的干电池等），
演示时阻尼振荡现象更明显．
2．大屏幕示波器（观察振荡电流周期变化情况）等．
四、主要教学过程
（－）引入新课
在以前研究弹簧振子、单摆在做简谐振动的过程中，已经知道振动的周期（或
频率）只与其本身的条件有关，例如弹簧振子的周期只取决于轻弹簧的劲度系数
足和振子的质量 ；单摆的周期只取于摆长l和当地的重力加速度g的大小，而与
其它因素无关，那么LC回路中的振荡电 流的周期（或频率）又是由什么因素决
定的？电感L、电容C的大小对振荡的快慢有怎样的影响？与电容 器带电量的多
少（或电压的高低）有没有关系？下面就来研究这个问题．
（二）主要教学过程设计
1．提出问题．
（l）机械振动中，周期和频率的概念、意义是什么？单摆做简谐振动中，
它的周期和频率由什么决定？
启发同学答出：
（2）电磁振荡或振荡电流变化的快慢如何来描述？那么，电磁振荡的周期
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和频率的意义是什么？
在同学回答的基础上，归纳指出：振荡电路里发生无阻尼自由 振荡时的周期
和频率叫做振荡电路的固有周期和固有频率．
对比，联系单摆的振动， 初步猜测一下电磁振荡的周期和频率与什么因素有
关系？与LC回路中的电感L、电容C有何种关系（定 性）？
2演示实验．
简介图 1所示电路：多抽头带铁心的线圈，L值较大（可用可拆变压器的 220
V或二个110 V线圈串联而成）；2～3个电解电容器（100μF，500 μF，1000
μF）·演示电流表（指针在表盘中央），H个电源（6 V、45 V）等．
操作和观察：观察什么？（电流表指
针摆动的快慢）选用不同的L或C值，
发生电磁振荡时，电流表指针摆动的快
慢程度（周期和频率）与L、C值的初步
关系是什么？
启发同学根据实验现象，推理、分
析得到：①电容C不变时，电感L越大，
振荡周期T就越长，频率变低；②当电
感L不变时，电容C越大，振荡周期就越长，频率变低．
换用不同电压的电源，当L、C值不变时，表针摆动的快慢程度相同（仅摆
动次数不同）．
在同学回答的基础上．小结指出：
LC振荡电路的固有周期（T）和固有频率（f），决定干电路中线圈的电感L
和电容器的电容C．
提出问题：上述现象如何解释？
归纳指出：电容越大，容纳电荷就越多，充 放电需要的时间就越长，因而周
期就长，频率就低；线圈的电感L越大，阻碍电流变化的延时作用就越强 ，使
放电、充电的时间就越长，因而周期就越长，频率就越低．总而言之，LC电路
的周期和频 率由电路本身的性质（L、C的值）决定，与电容器的带电量的多少、
电流大小无关．
3．固有周期和固有频率公式．
大量精确的实验和电磁学理论都证明：电磁振荡的固有周期T，跟LC 电路
中电感L和电容C的乘积的平方根成正比，即．各物理量都用国际单位
制单位，比例系数为 2π则有公式


式中T、f、L、C的单位分别是秒、赫兹、亨利和法拉（单位符号是s、Hz、
H、F）．
上式表明：适当地选择电容C和电感L，就可以使电路的固有周期和频率符
合我们的各种需要．通常应用 中是用可变电容器和电感线圈组成LC电路．要得
到不同周期和频率的振荡电流，可通过简便地改变可变 电容器的电容C来实现，
如图2所示；亦可通过改变电感L来实现，如图3所示．
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4.巩固练习（含机动内容）．
例 1如图 4所示的LC振荡电路中，可变电容器C的取值范围为 10 PF～
360 PF，线圈的电感L=0. 10 H．求此电路能获得的振荡电流的最高频率多大？
最低频率又为多少？
解析：因为LC电路的固有频率为 ，当L不变时，则有，
可知当电容C
为最小值时（即 C=10PF）振荡电流的频率最高，当电容C为最大值时（即
C
2
=360 PF）振荡电流的频率最低．所以由题给条件，即可求得最高和最低频 率．计
算时注意各量要用相应的国际单位制的主单位；电容C
1
=10 PF=10× 10
-12
F=1×
10
-11
F，C
2
=360 PF=360×10
-12
F=3.6×10
-10
F，则有
最高频率f
1
和最低频率f
2
分别为

例 2有一LC振荡电路，当电容调节为C
1
=200 PF时，能产生频率为f
1
=500
kH
z
的振荡电流，要获得频 率为f
2
=1.0×10
3
kH
z
的振荡电流，则可变容器应调至
多大？（设电感L保持不变）
解析：在已知电容C；和固有频率人的条件下，根据公式入一1／27tVLC；
可求出线圈电感L．则

3
再应用频率公式，即可求得f
2
=1.0×10 kH
z
时对应的电容 C
2
值：
因
1

所以
方法对，但较繁，是否有简便一些的方法？应用比例法求解较为简捷，由公
式，可知， 本题中则有
为

3 5
故有
例3 在图5（甲）中，LC振荡电路中规定图示电流方向为电流i的正方向，
则振荡电流随时间变化的图像如 图5（乙）所示．

那么，电路中各物理量在一个周期内的情况是：
＿＿＿＿＿＿＿＿ 时刻，电容器上带电量为零；
＿＿＿＿＿＿＿＿ 时刻，线圈中的磁场最强；
＿＿＿＿＿＿＿＿ 时刻，电容器两板间的电场强度值最大；
＿＿＿＿＿＿＿＿ 时刻，电路中电流达到反向最大值；
在＿＿＿＿＿＿＿＿时间内是对电容器的充电过程．
解析：分析这类问题的关键是要搞清电场能 和磁场能相互转化的过程，以及
它所对应的物理状态和物理量间的关系．由题图可知电容器C正在放电， 当t=0
时，C带电量最多，两板间电压最大，电场能也最大．而此时磁场能最小（为零）．对
应的电流i最小（为零）；随着C放电的持续，带电量、电压、电场能将逐渐减
小，而磁场能、电流i将 逐渐变大．当C放电完毕时，电场能减为零，C带电量、
电压也减为零，而磁场能、电流达到最大，之后 由于电感L和电容C的作用，
将对电容反向充电，直至最大．依此类推，故可得知，A、C时刻电流最大 ，磁
场最强，电场为零，C带电量为零．当电流为零时（对应图中的O、B、D），电
容器上带 电量最多，相应的电场强度值为最大．同理可知C时刻电流达到最大，
电容经过T／4放电完毕后，紧接 着又对电容反向充电，又经T／4，充电到最大
值，即带电量、电压、电场能达最大，磁场能、电流变为 零，这个过程对应着图
中的A B，类似的道理可知C D 也是对电容的充电过程．
（三）课堂小结
1．LC振荡电路的周期公式、频率公式 要理解其物理含义，它只由电路本身
的特性（L、C值）决定，所以叫做固有周期和固有频率，应用中， 通过改变LC
回路中的电感L或电容C，周期和频率也随之改变，满足各种需要．
2．应 用周期公式、频率公式进行计算时，要特别注意各物理量的单位，常用
电容器的单位有微法（μF）和皮 法（PF），代入公式时一定要换为法（F），电
感L的单位有时是毫亨或微亨（mH或μH），代入公 式时要换为亨（H），这样
得到的周期和频率的单位才是正确的（秒和赫兹）．
（四）布置作业
本节书后练习外加一个补充题（计算题或论述题）．
五、教学说明
1．LC振荡电路的周期公式、频率公式，现阶段不能从其它知识推导出来，
所以做好 演示实验就显得尤为重要．改变电感L或电容C时，观察指针摆动的
快慢，定性得到T、f随L、C值变 化的关系．如果实验条件较好，能找到几个
有准确值的电容器和电感线圈，再配合以秒表计时，就能得到 粗略的函数关系（测
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4次，用比例法，可归纳得出）．
2．演示 实验后，直接给出周期公式、频率公式后，可由电感和电容器的作
用引导同学理解公式的含义：“只由本 身的L、C值决定”．
3．应用公式计算时，一定要注意各量的单位（此处容易出错），在用 比例法
解题时，同一物理量的单位相同即可，不一定要换成国际单位制中的主单位．
（北京四中 董连生）
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