矢量和公式数对顶角有什么方法

2020年10月16日发(作者：殷兆观)


数对顶角有什么方法
一、两两相交分类法
例1：已知直线ab、cd、ef是经过点o的三条直线，则图中共有
几对对顶角？
分析:根据对顶角的定义可知，任意两条直线相交，可以得到两
对对顶角，所以可以从两直线相交上分类 寻找对顶角的对数。
解答：（1）直线ab、cd相交于点o，得到∠aoc与∠bod、
∠boc与∠aod两对对顶角。
（2）直线ab、ef相交于点o，得到∠aoe与∠bo f、∠aof与∠
eob两对对顶角。
（3）直线ef、cd相交于点o，得到∠eoc与∠ dof、∠eod与∠
cof两对对顶角。
综上可知，图中共有2+2+2＝6对对顶角。
点评：通过这道题，我们不难发现每两条相交直线都存在两对对
顶角，所以，三条直线交同一点 ，所构成的对顶角的对数为2×3
＝6（对）。
推广：由例1可以推广到n条直线相交于同一 点，有（n-1）+（n-2）
+……+3+2+1＝种不同的两直线相交，所构成的对顶角有对。
二、标数计算法
例2：如图，已知直线a、b、c、d是经过点o的四条直线，则图
中共有几对对顶角？
分析：本题是四条直线经过一点，如果采用例1的方法就有些麻



烦，下面介绍一种标数计算的方法。
在图形每相邻两边之间依次标上自然数1、2、3、4、5、6、7、8
（如图所示）。 将所标的自然数相加有1+2+3+4+5+6+7+8＝36，然后代入对顶角
对数的计算公式：
对顶角的对数＝（所有标注的数字和－3×直线条数）÷2，即可
求到对顶角的对数。
解答：四条直线相交于一点，则共得到对顶角对数为［（1+2+
3+4+5+6+7+8）－3×4］÷2＝12。即四条直线过一点可得到12
对对顶角。
点评：通过本题，我们不难发现要想知道对顶角的对数实际上取
决于相交直线把平面分成的区域 数。
推广：由例2可以推广到n条直线相交于同一点，则共得到对顶
角对数为［（1+2+3 +……+2n）－3×n］÷2＝［-3n］÷2＝（2n2+n-3n）
÷2=（2n2-2n）÷2 =n（n-1）（对）。
三、公式法
例3：试探索当有100条直线相交于一点o时，可得到几对对顶
角？
分析：通过以 上两例我们可知：两条直线交于o点，可得2对对
顶角；三条直线交于一点o，共有6对对顶角；四条直 线交于一点
o ，共有12对对顶角。由此看出，对顶角的对数与直线的条数具
有下列关系：



当2条直线交于一点时，可得到2×（2－1）＝2对对顶角；
当3条直线交于一点时，可得到3×（3－1）＝6对对顶角；
当4条直线交于一点时，可得到4×（4－1）＝12对对顶角；
进一步，我们可以得到：当5条直线相交于一点时，可得到5×
（5－1）＝20对对顶角；
依次类推：
当n条直线相交于一点时，可得到n×（n－1）对对顶角（n是
大于1的整数）。
这样，如果平面内有几条直线相交于一点时，要数出对顶角的对
数，只要先查出直线的条数n，然后利用 n(n－1)计算，就可得到
对顶角的对数。
解答 100条直线相交于一点，共有100×（100－1）＝9900对对
顶角。