等价无穷大公式直线上的相遇与追及问题

2020年10月16日发(作者：范敬宜)
第一讲 直线上的相遇与追及问题
教学目的：
1、 学会行程的中，速度、时间、路程三个量的关系
2、 掌握相向、背向、同向等概念
3、 会运用追及和相遇解决简单行程问题
基本知识点
行程三个量的关系公式：
路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
三个概念：
相向而行：面对面而行（如图）。
同向而行：面朝的方向相同而行（如图）


背向而行：背靠背方向，方向相反而行（如图）。



相遇和追及问题
1、相遇问题
含义 ： 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题
叫做相遇问题。
数量关系： 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
（甲速＋乙速）=总路程÷相遇时间
2、追及问题
含义： 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时 出发，
或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在
前面的， 行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用
题就叫做追及问题。
数量关系： 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
（快速－慢速）＝追及路程÷追及时间
3、注意点：
① 在处理相遇与追及问题的时候，一定要注意公式的使用时二者发生关系那
一时刻时候所处的状态。
② 在行程问题里面所用的时间都是时间段，不是时间点（非常重要）。
③ 无论在哪一类行程问题里面，只要是相遇，就与速度和有关，只要是追及，
就与速度差有关。
相遇例题：
例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而 行，从
南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时
两船相 遇？
解 392÷（28＋21）＝8（小时）
答：经过8小时两船相遇。
例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘
每秒钟 跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二
次相遇需多长时间？
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相 向而行，甲每小时行15千米，乙每小时
行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑
得快，乙骑 得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路
程是（3×2）千米，因此，
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：两地距离是84千米。


追及例题：
例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能
追上劣马？
解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－75）＝20（天）
列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好马20天能追上劣马。
例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地
点同时出发 ，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速
度是每秒多少米。
解 小 明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－
200）米，要知小亮的速 度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知
小明跑200米用40秒，则跑500米用［4 0×（500÷200）］秒，所以小亮的速度
是 （500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午1 6点开始从甲地以每小
时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度
开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
解 敌人 逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃
跑的路程是［10×（22－ 6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小时）
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行4 8千米；一辆货车同时从乙站开往
甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙 两站的距离。
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车
（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）
所以两站间的距离为 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）
答：甲乙两站的距离是352千米。
例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90 米，妹妹每分钟走60米。哥哥
到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处 和妹妹相
遇。问他们家离学校有多远？
解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间 。从题中可知，在相同时间
（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹 每分钟
多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为
180×2÷（90－60）＝12（分钟）
家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）
答：家离学校有900米远。
例6 孙亮打算上 课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，
当他走了1千米时，发现手表慢了10分 钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准
时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步 行早9分钟到
学校。求孙亮跑步的速度。
解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟， 如果按原速走下去，就要迟到（10
－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用 了（10－5）
分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步
比步行少用［9－（10－5）］分钟。所以
步行1千米所用时间为 1÷［9－（10－5）］＝0.25（小时）＝15（分钟）
跑步1千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
跑步速度为每小时 1÷11／60＝1×60／11＝5.5（千米）
答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。










第二讲 环形跑道的相遇与追及

教学目的：
1、 了解什么是环形跑道问题
2、 掌握环形跑道上相遇与追及的特点
基本知识点
1、环形跑道相遇问题：


















如上图，我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇，相遇的
时候他们刚 好走过一个圆周的周长，如果在进行多次相遇的时候，与第一次相遇
的情况一样，新的起点，再次相遇。
重点：因此，圆周上的相遇告诉我们，每相遇一次，他们两个人的路程和为
一个圆周的周长。相 遇几次，就是几个圆周的周长。由此，也可以建立等量关系，
来进行解题

公式：一个圆周的周长=（快速＋慢速）×相遇时间


2、环形跑道上的追及问题






如上图，我们可以看到甲、乙两人同向而行，快的会再一次在圆周上追上
慢的，当追上的时候，快的刚 好比慢的多走一个圆周的周长，如果在进行多次追
及的时候，与第一次相遇的情况一样，新的起点，再次 追及。

重点：因此，圆周上的追及告诉我们，每追及一次，快的就应该比慢的多走
一个圆周的周长。追及几次，就是几个圆周的周长。由此，也可以建立等量关系，
来进行解题




公式：一个圆周的周长=（快速－慢速）×相遇时间

1.在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。甲、乙两人分别从A、B
两点同 时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑
100米，都要停10秒钟。那 么，甲追上乙需要的时间是多少秒？

答案：假设没有休息 那么100（5—4）=100秒钟 在1005=20秒
10020-1=4（次）100+4*10=140秒


2.小明 在360米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5米，后半时
间每秒跑4米，为他后半路程用了 多少时间？

答案：x÷4=（360-x）÷5×=160（360÷2-160）÷5＋160÷4＝44分

3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后
一半时间每 秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒


答案：设总时间为X，则前一半的时间为X2，后一半时间同样为X2
X2*5+X2*4=360
X=80
总共跑了80秒
前40秒每秒跑5米，40秒后跑了200米
后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米
后一半的路程为3602=180米
后一半的路程用的时间为（200-180）5+40=44秒


4.小君在 360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后
一半时间每秒跑4米。那么小君后一 半路程用了多少秒？


答案：设时间X秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程=40*4=160
米 后一半路程=3602=180米 后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米 后
一半路程用每秒跑5米时间=205=4秒 后一半路程时间=4+40=44秒 答：后一半
路程用了44秒

5.小明在 420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，
后一半时间每秒跑6米.求他后一半 路程用了多少时间？

答案：设总用时X秒。前一半时间和后一半时间都是X2。然后前 一半跑
8*(X2)米，后一半跑6*(X2)米，总共加起来等于420米。所以列下方程
8 *(X2)+6*(X2)=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因为后一半为6MS，
所以后一半跑了6*30=180M。

6.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进 ，甲行一圈4分钟，乙行一圈7
分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙 或迎面
相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？


答案：前10圈甲跑一圈击掌一次，即10下 此时已跑了5+57圈；后面2
人跑了27时击掌 一次，然后2人共一圈击掌1次 耗时 （4+27）（14+17）
=307*（1128）=16598； 甲共总走了40+16598 H 已走了 （40+16598）*
（4007） M



第三讲 多人相遇与追及问题

教学目的：
1、 了解多人相遇与追及的解题技巧。
2、 会运用一些其他应用题手段来解决问题。
基本知识点
多人相遇与追及问题，与之前我们所接触的行程问题有所不同，因为它是三
个人或者三个人以上的行程问题，这样发现多了很多关系，整体处理起来就比较
难以入手。
解决技巧：数学思想就是把复杂问题简单化，因此，我们可以把多人的看成是两
个人两个人的行程关系。
对于行程关系，我们前面已经说过了，除了有相遇与追及之外，有时还会出现，
超越与背向而行 产生距离。
超越的关系：






路程公式：（快速－慢速）×超越的时间=拉开的距离
会发现，超越与追及的公式一样，因此可以把它们归为一类。

背向而行产生距离：





公式：（快速＋慢速）×相遇时间=两个人产生的距离
会发现，背向而行产生距离与相遇的公式一样，因此可以把它们归为一类。
例题解析
1、从甲市到乙市有一条公路，它分为三段。在第一段上，汽车速度是每小时40
千米，在第二段上， 汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小
时50千米。已知第一段公路的长恰好是第三 段的2倍。现有两辆汽车分别从甲、
乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段的13处（ 从甲到乙方向
的13处）相遇。问：甲、乙相距多少千米？


2、当 两只小狗刚走完铁桥长的13时，一列火车从后面开来，一只狗向后
跑，跑到桥头B时，火车刚好到达B ；另一只狗向前跑，跑到桥头A时，火车
也正好跑到A，两只小狗的速度是每秒6米，问火车的速度是多 少？

3、小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，他走了150级，他的同学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶，走了75级，如果小明行走的速度是小刚
的3倍，那么可以看 到的自动抚梯的级数是多少？

4、一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，可 以比原定时间提前一
小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将原速提高25％，则可提前40分钟
到达，求甲乙两地相距多少千米？

5、 一只狗追赶一只兔子，狗跳跃6次的 时间，兔只能跳跃5次，狗跳跃4
次的距离和兔跳跃7次的距离相同，兔跑了5.5千米以后狗开始在后 面追，兔又
跑了多远被狗追上。

6、三种动物赛跑，狐狸的速度是兔子的45 ，兔子的速度是松鼠的2倍，一
分钟松鼠比狐狸少跑12米，问：半分钟兔子比狐狸多跑几米？

7、A、B分别以每小时160千米和20千米的速度，在长为210千米的环形
公路上同时、同地、同向出发。每当A车追上B车一次，A车减速13而B车
增速13.问：在两车速 度刚好相等的时候，它们分别行驶了多少千米？

8、A、B两地相距125千米，甲、 乙两人骑自行车分别从A、B两地同时出
发，相向而行。丙骑摩托车每小时63千米。与甲同时从A 出 发，在甲乙二人间
穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回），若甲车速为每小时9千米，
且当丙第二次到甲处时（甲、丙同时出发的那一次为丙第0次回到甲处），甲、
乙两人相距45千米， 问：当丙第四次回到甲处时，甲乙相距多少米？
第八讲 多次相遇与追及问题
教学目的：
1、了解多次相遇与追及问题的特点。
2、掌握多次相遇与追及问题与全程数的关系
3、会用比例解多次相遇与追及问题
4、相遇点的定位
基本知识点
相遇问题
1、相遇次数与两个人走过全程数的关系：



第一次相遇




第二次相遇

由 以上两个图可以知道，第一次相遇走的全程数为1个，第二次相遇走的全程数
为3个，以此类推，第n次 相遇走的全程数为（2n－1）。


2、相遇点的定位：
①确定甲乙两辆车的速度比m:n
②把全程分为（m+n）份
③根据相遇次数与全程数的关系，定位相遇点
④然后求解

追及问题 < br>其实追及问题与相遇问题一样，只不过追及问题是从同地出发，追及问题与
全程数的关系为：相遇 次数N，走过的全程数为2N.
注意点：这里的相遇，我们只考虑迎面相遇的情况。
这里的追及，我们只考虑背后追及的情况。

例题解析