超储率公式高考中导数大题的得分技巧分析

2020年10月16日发(作者：相炜)
高考中导数大题的得分技巧分析

导数作为高中数学的一个新增内容,在近 几年高考中
都有重要的体现.作为一个解题工具,它与其他知识点的联
系密切,如导数与单调性 ,导数与值域,导数与不等式,导数
与解析几何等,正因为以导数为工具的题型覆盖面广,而且
导数也切实实现了简化解题步骤,明晰解题思路的作用,所
以在近几年高考中,导数问题才经久不衰,稳 居压轴题之位.
下面是我对近几年高考题中的导数压轴题得分及解法技巧
的一些粗浅认识,仅供 大家参考.
一、得分技巧
1.中等偏下学生,记住公式,求导得分.
导数问题虽然是压轴题,但他的第一个问通常是在含参
数的前提下求单调区间,求极值的问题,只要有函 数,就一定
要求导,求导时会应用的公式为
①相乘形式的函数导数的求法,即(f(x) g(x))′=f′
(x)g(x)+f(x)g′(x))
②自然对数的导数,指数函 数的导数,三角函数的导数,
即(lnx)′=■,(ex)′=ex,(sinx)′=cosx,( cosx)′=－
sinx
1 5
所以作为中等偏下学生只要记住以上几个公式,就可以
得到这道高考题的2分左右.
2.中等学生注意定义域,利用导数的恒成立,解决第一
问.
高考中的导数大题一定是含 参数的,我们会在参数参与
的前提下求解点调区间,或极值问题,这就需要对参数的取
值范围进 行讨论.
例如1:2011辽宁卷文科22题第一问
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
在对函数求导后得到,f′(x)=■+2ax=■,
在定义域为(0,+∞)的前 提下,导数的分子为最高次项
含参数的一个新函数g(x)=2ax2+a+1,而当a≥0时,函数g (x)
≥0恒成立.所以得到了第一种情况的单调性.同时,第一种
情况中a≥0这个范围的出 现也给下面的讨论提供了范围依
据,接下来再在a<0时按照函数g(x)的零点情况继续讨论即
可.
这道题是利用导数与0之间存在某种可确定大小关系的
可能性,先分析出导数大于 0或小于0恒成立的参数的取值
2 5
范围,得到单调性的第一个结论,再在参数的其他范 围内,对
导数与0所构成的不等式进行求解,从而得到第一个问的结
论.
3.上中等学生常回顾,利用本题曾经获得的结论,构造
函数争取满分.
高考中导数问题 一般为两个问,第一个问以讨论函数的
单调性居多,第二个问多为不等式的恒成立问题,第二个问
的不等式的求解过程中常常要用到第一个问曾经获得的结
论,所以在解题时要时刻回顾,寻找可利用的 依据.
二、解题技巧
在对最近五年高考题的整理中，我发现，导数问题在解
法上还是有一定的规律可查的。
具体规律有以下几个：
(1)求导后导数的几个固定形式：①含分母的导数形式
f(x)=■ ，此类导数是由含有lnx的函 数求导得到的，所以
定义域为(0,+∞)，此时导数的正负与分母无关，只要研究
分母g(x )=mx2+nx+p，分m=0 及m≠0时△与0的关系即可.
②含ex的导数形式，此类导数的原 函数若为相乘形式的函
数，则提取ex，导数的正负与ex无关，若只有个别式子含
有ex则考 虑二次求导。③含三角函数的导数形式，利用三
3 5
角函数的有界性。
（2） 二次求导的使用。
高考题中有时会涉及到二次求导的使用.
如2010课标卷第21题
设函数f(x)=ex－1－x－ax2。
（1）若a=0，求f(x)的单调区间；
（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围
在(2)问中,一阶求导后,f′(x)=ex－1－2ax,而这一函
数仍为超越函数, 要研究原函数的单调性,我们还是无从下
手,所以用二阶求导,令g(x)=f′(x),则g′(x) =ex－2a ,此
时,由已知x≥0,所以ex≥1,即2a与1的大小关系是二阶导
数与0 的关系讨论的依据,而二阶导数与0的关系决定一阶
导数的单调性,一阶导数若单调的话,则一定有f′ (x)≥
(≤)f′(0)=0恒成立,即获得了原函数得单调性.
考虑会用到二阶求导,是当一阶导数仍为超越函数,无
法直接研究原函数的单调性.
(3 )恒成立的应用.恒成立是导数问题中永恒的话题.归
结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题 ,所以是
导数应用的一个最重要的体现.在导数问题中,几乎所有的
4 5
最后一问都要涉及到这类恒成立问题.
如2011年北京卷第18题
已知函数f(x)=(x－k)■e■.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)≤■，求k的
取值范围；
即为证明f(x)■≤■即可.
如2010课标卷第21题
设函数f(x)=ex－1－x－ax2。
(1)若a=0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
第二问即求f(x)min≥0
以上 是我个人在导数问题上就得分技巧和解题技巧两
方面的一些浅显认识,在高考中,要想顺利地解决 导数问题
还需要各位同仁共同努力,寻找更多好的方法和途径,使学
生少走弯路,做到事倍功半 ,提高高考分数.


5 5