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正四棱台侧面积公式带电粒子在有界磁场中运动(超经典)..

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-16 20:24
tags:磁场运动公式

长方形面积怎么算公式-大连医学院

2020年10月16日发(作者:全子仁)
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

“临界问题”大量存在于高中物理的许多 章节中,如“圆周运动中小球能过最高点的速度条
件”“动量中的避免碰撞问题”等等,这类题目中往往 含有“最大”、“最高”、“至少”、
“恰好”等词语,其最终的求解一般涉及极值,但关键是找准临界 状态。带电粒子在有界磁
场中运动的临界问题,在解答上除了有求解临界问题的共性外,又有它自身的一 些特点。

一、解题方法

画图→动态分析→找临界轨迹。 (这类题目关键是作图,图画准了,问题就解决了一大
半,余下的就只有计算了──这一般都不难。)

二、常见题型(
B
为磁场的磁感应强度,
v
0为粒子进入磁场的初速度)



分述如下:

第一类问题:

例1 如图1所示,匀强磁场的磁感应强度为
B
,宽度为
d
,边界为
CD

EF
。一电子从
CD
边界外侧以速率
v
0
垂直匀强磁场射入,入射方向与
CD边界夹角为θ。已知电子的质量为
m
,电荷量为
e
,为使电子能从磁场的 另一侧
EF
射出,求电子的速率
v
0
至少多大?



分析:如图2,通过作图可以看到:随着
v
0
的增大,圆半径增大,临界状态就是圆与边

EF
相切,然后就不难解答了。

第二类问题:

例2 如图3所示,水平线
MN< br>下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为
B
的匀强磁场,在
MN
线上某点
O
正下方与之相距
L
的质子源
S
,可在纸面内360°范围 内发射质量为
m
、电量

e
、速度为
v
0
=
BeL

m
的质子,不计质子重力,打在
MN
上的质子在< br>O
点右侧最远距离
OP
=________,打在
O
点左侧最 远距离
OQ
=__________。



分析:首先求出半径得
r
=
L
,然后作出临界轨迹如图4所示(所有从
S
发射出去的质子
做圆周运动的轨道圆心是在以
S
为圆心、以
r< br>=
L
为半径的圆上,这类问题可以先作出这一圆
──就是圆心的集合,然后以圆 上各点为圆心,作出一系列动态圆)
,OP
=,
OQ
=
L


【练习】如图5所示,在屏
MN
的上方有磁感应强度为
B< br>的匀强磁场,磁场方向垂直纸面
向里。
P
为屏上的一小孔,
PC

MN
垂直。一群质量为
m
、带电荷量为-
q
的粒子(不 计重力),
以相同的速率
v
,从
P
处沿垂直于磁场的方向射入磁场区 域。粒子入射方向在与磁场
B
垂直
的平面内,且散开在与
PC
夹角为 θ的范围内,则在屏
MN
上被粒子打中的区域的长度为
( )

A.

B. C. D.


分析:如图6所示,打在屏上距
P
最远的点是以
O
1
为 圆心的圆与屏的交点,打在屏上最
近的点是以
O
2

O
3< br>为圆心的圆与屏的交点(与例2相似,可先作出一系列动态圆)。故答案选
“D”。

第三类问题:

例3(2009年山东卷)如图甲所示,建立
O xy
坐标系,两平行极板
P

Q
垂直于
y
轴且关< br>于
x
轴对称,极板长度和板间距均为
l
,第一、四象限有磁场,方向垂 直于
Oxy
平面向里。
位于极板左侧的粒子源沿
x
轴向右连续发射质 量为
m
、电量为+
q
、速度相同、重力不计的带
电粒子。在0~3< br>t
0
时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)。



已知
t
=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在
t
0
时刻经极板边缘射入磁场。上述
m

q

l

t
0

B
为已知量。(不考虑粒子间相互影响及返回极板 间的情况)

(1)求电压
U
0
的大小。

(2)求
t
0
时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短?求此最短时间。




图丙


分析:粒 子进入电场做类平抛运动,由平抛运动规律即可求得偏转电压
U
0

t
=
t
0
时刻进入
的粒子先做类平抛运动,
t
0
后 沿末速度方向做匀速直线运动,利用相应规律可求得射出电
场的速度大小,进入磁场后做匀速圆周运动, 洛仑兹力提供向心力,可求提半径
R
;2
t
0
时刻
进入的带 电粒子加速时间最长(如图丙所示),加上此时粒子进入磁场是向上偏转,故运动
时间最短,同样应用类 平抛运动规律和圆周运动规律,即可求得此最短时间。
第四类问题:

例4 如图7所示,磁感应强度大小
B
=0.15T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半< br>径
R
=0.10m的圆形区域内,圆的左端跟
y
轴相切于直角坐标系原 点
O
,右端跟荧光屏
MN

切于
x
轴上的
A
点。置于原点的粒子源可沿
x
轴正方向射出速度
v
0
=3 .0×10ms的带正电
的粒子流,粒子的重力不计,荷质比
q

m
= 1.0×10Ckg。现以过
O
点并垂直于纸面的直线
为轴,将圆形磁场逆时针缓慢旋 转90°,求此过程中粒子打在荧光屏上离
A
的最远距离。
8
6



分析:本题可先设想磁场是无界的,那么粒子在磁场中运动的一段圆弧 如图8中的弧
OE
(半径
r
=2
R
=0.20m,圆心为< br>O
′),现在圆形磁场以
O
为轴在旋转相当于直径
OA
也在旋 转,
当直径
OA
旋转至
OD
位置时,粒子从圆形磁场中离开射向荧光 屏
MN
时离
A
有最远距离(落
点为
F
)。图中△< br>O

OD
为等边三角形,
FD
与O′O
2
延 长交于
C
点,图中θ=60°,,
,。

练习:如图9所示 ,一个质量为
m
,带电荷量为+
q
的粒子以速度
v
0

O
点沿
y
轴正方向
射入磁感应强度为
B
的圆形 匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向外,粒子飞出磁场区域后,

x
轴上的
b
点穿过,其速度方向与
x
轴正方向的夹角为30°,粒子的重力可忽略不计,试
求:

(1)圆形匀强磁场区域的最小面积;(2)粒子在磁场中运动的时间;(3 )
b

O
的距
离。



分析:如图10,过
b
点作速度的反向延长线交
y
轴于
C
点,作∠
OCb
的角平分线交
x


O
1
,再以
O
1
为圆心、以
O
1
O
为半径画 弧,与直线
Cb
相切于点
A
,粒子运动的轨迹即为
O
A

b

圆形磁场即为以
OA
为直径的圆,利用相关物 理公式及几何知识不难计算出本题的结果。

第五类问题:

例5 电子质量为
m
,电荷量为
e
,从坐标原点
O
处沿xOy
平面射入第一象限,射入时速
度方向不同,速度大小均为
v
0,如图11所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于
xOy
平面
的匀强磁场,磁 感应强度为
B
,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏
MN
上,荧光屏< br>与
y
轴平行,求:(1)荧光屏上光斑的长度;(2)所加磁场范围的最小面积。



分析:本题可先作出这些射入第一象限的电子做圆周运动 的轨道圆心的集合,必在弧
O
1
O
2
上(如图12),然后设想以该 弧上的各点(如图12中的
O
2
等四点)为圆心作出粒子运动的
轨迹,最终垂 直射到
MN
上的
PQ
间,所以荧光屏上光斑的长度即为
PQ
=
R
=
mv
0

eB
;所加磁场
范围即为图 中由弧
OO
4
O
3
O
所围的区域,其中弧
O
3
O
4
可看成是由弧
O
1
O
2
向上平移 R得到的。

练习:例5若改为“磁场方向垂直于
xOy
平面向里, 荧光屏
MN
移至
y
轴右侧,”其他条
件不变,情况又怎样呢?读者可 试作分析。(所加磁场的最小范围为一“树叶”形状)

综合以上题型,我们可以看到 ,这些问题的解答很能体现学生的分析思维能力以及想象
能力,要求学生能够由一条确定的轨迹想到多条 动态轨迹,并最终判定临界状态,这需要在
平时的复习中让学生能有代表性地涉猎一些习题,才能在高考 应试中得心就手,应对自如。
例析用圆心轨迹确定带电粒子在磁场中运动区域问题



同种带电粒子从同一点以相同速率、沿不同方向进入同一匀强磁场中,粒子可能达到的区域的确定是教学中常遇,

学生感到棘手,

高考又考查的问题。现就此类问题举
例分析。

题目1 (2005年全国高考) 如图1,

在一水平放置的平板MN 的上方有一匀强磁
场,磁感应强度的大小为B ,

磁场方向垂直纸面向里,许多质量为m、带电荷量为+ q
的粒子,以相同的速率v
0
沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域。不计重
力,不计粒子间的相互影响。图2中 阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中r =m v
0

B q,哪个图是正确的( )






析与解 依据题意,

所有带电粒子在磁场中做圆周运动的半径相同r = m v
0

B q所
以,在纸面内由O点沿不同方向入射的带电粒子作圆周运动的圆心轨迹是以O 为圆心,

r为半径的圆周(A 图中虚线圆示) 。又因为带电粒子带正电、进磁场时只分布在以ON
和 OM为边界的上方空间,而向心力由洛仑兹力提供,

它既指向圆心又始终垂直速度,
可确定:圆心轨迹只能是A 图中虚线圆直径分隔的左半边虚线圆周;再以A 图中左半
虚线圆上各点为圆心、以r为半径作圆,

圆周在磁场中所能达到的区域应为A图阴影
区。所以A图正确。

题目2 如图3 所示,

有许多电子(每个电子的质量为m ,

电量为e) 在xOy平面
内从坐标原点O 不断地以相同大小的速度v
0

沿不同方向射入第一象限。现加上一个方
向向里垂直于xOy平面、磁感应强度为B 的匀强磁 场,要求这些电子穿过该磁场后都
能平行于x轴并向x轴的正方向运动。试求符合该条件的磁场的最小面 积。



析与解 因为所有电子都在匀强磁场中作半径为

r = m v
0

B e的匀速圆周运动。而沿y轴的正方向射入的边缘电子需转过1 4圆周才能沿
x轴的正方向运动,它的 轨迹应为所求最小面积磁场区域的上边界———如图中弧线a,
其圆心在垂直入射速度的x轴上O
1

( r ,

0) 。

现设沿与x轴成任意角α(0 <α

< 90°) 射入的电子在动点p离开磁场。 这些从O
点沿不同方向入射的电子做圆周运动的圆心O′到入射点O的距离又都为半径r。所以,

O′形成一个以入射点O (即坐标原点) 为圆心、r为半径的1 4圆弧轨迹———如图3中< br>弧线c。根据题目要求,各电子射出磁场时速度v要为平行x轴的正方向。故由做圆周
运动的物体 的圆心又应在垂直出射速度的直线上可知,从不同点p射出的电子的圆心
O′又必在对应出射点p的正下 方,

即曲线c上各点到对应正上方出射点p的距离也都
等于r;因此将1 4圆弧轨迹c沿y 轴正向平移距离后———如图中弧线b,弧线b就是
各出射点p的轨迹,它实际是以 O
2

(0 ,

r) 为圆心,半径为r的1 4圆弧;

既然点p
是出射点- - 即磁场的下边界,故弧线b应为所求最小面积磁场区域的下边界。所 以,
所求面积为图中弧线a与b所围阴影面积。

由几何得:



“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析

2011-12-15 13:58:53| 分类: 高三物理 |字号大中小 订阅
处理带电粒子在匀强磁场中的圆周 运动问题,其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。重要的
是正确建立完整的物理模型,画出准确 、清晰的运动轨迹。下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场
中的圆周运动”进行分类解析。
一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题
找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子 垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆
周运动,抓住运动中的任两点处的速度,分别 作出各速度的垂线,则二垂线的交点必为圆心;或者用垂径
定理及一处速度的垂线也可找出圆心;再利用 数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答
物理问题。
【例1】图示在y<0 的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外,磁场的磁感应强
度为B;一带正电的粒 子以速度V
0
从O点射入磁场中,入射方向在xy平面内,与x轴正方向的夹角为θ;
若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。求①该粒子的电荷量和质量比;②粒子在磁场中的运动时间。

分析:①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转,过O点作速度V
0
的垂线必过粒 子运动轨迹的圆心O’;由
于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ,故点 P作速度的垂线与点O处速
度垂线的交点即为圆心O’(也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O 处速度的垂线的交点也为圆心)。
由图可知粒子圆周运动的半径由有。再由洛仑兹力作向心力得出粒子在
磁场中的运动半径为故有,解之。
②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为,故粒子在磁场中的运动时间为

【例2】如 图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B
1
=2B
2
,现有一质量为m 带电+q的粒子从O
点以初速度V
0
沿垂直于ab方向发射;在图中作出粒子运动轨迹 ,并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时
间、路程及离开点O的距离。(粒子重力不计)

分析:粒子在二磁场中的运动半径分别为,由粒子在磁场中所受的
洛仑兹力的方向可以作出粒子 的运动轨迹如图所示。粒子从点O出发第6次穿过直线ab时的位置必为点P;
故粒子运动经历的时间为 ,而粒子的运动周期代入前式有
。粒子经过的路程。点O与P的距离为

二、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的范围型问题
寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半 径R
0
”,然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R
0
的大小关
系确 定范围。
【例3】如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图,质量m带电-q的 粒子以与
CD成θ角的速度V
0
垂直射入磁场中;要使粒子必能从EF射出则初速度V
0
应满足什么条件?EF上有粒子射
出的区域?

分析:粒子从A 点进入磁场后受洛仑兹力作匀速圆周运动,要使粒子必能从EF射出,则相应的临界
轨迹必为过点A并与 EF相切的轨迹如图示,作出A、P点速度的垂线相交于O’即为该临界轨迹的圆心,
临界半径R
0
由有;故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R
0

即 有。 < br>由图知粒子不可能从P点下方向射出EF,即只能从P点上方某一区域射出;又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转,故粒子不可能从AG直线上方射出;由此可见EF中有粒子射出的区< br>域为PG,且由图知。
【例4】如图所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各 个方向发射速率相等的质量为m、
带电-e的电子,MN是一块足够大的竖直档板且与S的水平距离OS =L,档板左侧充满垂直纸面向里的匀强
磁场;①若电子的发射速率为V
0
,要使电子 一定能经过点O,则磁场的磁感应强度B的条件?②若磁场的
磁感应强度为B,要使S发射出的电子能到 达档板,则电子的发射速率多大?③若磁场的磁感应强度为B,
从S发射出的电子的速度为,则档板上出 现电子的范围多大?

分析:电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运 动,由于电子从点S射出的方
向不同将使其受洛仑兹力方向不同,导致电子的轨迹不同,分析知只有从点 S向与SO成锐角且位于SO上
方发射出的电子才可能经过点O。
①要使电子一定能经过点O,即SO为圆周的一条弦,则电子圆周运动的轨道半径必满足,由

②要使电子从S发出后能到达档板,则电子至少能到达档板上的O点,故仍有粒子圆周运动半径
,由有。
③当从S发出的电子的速度为时,电子在磁场中的运动轨迹半径,但由于
电子发射出 的方向不同则其轨道不同,因而到达MN板的位置不同。由此作出图示的二临界轨迹,
故电子击中档板的 范围在P
1
P
2
间;对SP
1
弧由图知
SO必成3 0°向SO下方发射;对SP
2
弧由图知
成α为而向SO的左上方发射。
, 且该电子的发射方向与
,且该电子的发射方向与SO
三、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的极 值型问题
寻找产生极值的条件:①直径是圆的最大弦;②同一圆中大弦对应大的圆心角;③由轨迹确定 半径的
极值。
【例5】图中半径r=10cm的圆形区域内有匀强磁场,其边界跟y轴在坐标 原点O处相切;磁场B=0.33T
垂直于纸面向内,在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率 均为的α粒子;
已知α粒子质量为,电量,则α粒子通过磁场空间的最大偏转
角θ及在磁场中运 动的最长时间t各多少?
分析:α粒子从点O进入匀强磁场后必作匀速圆周运动,其运动半径由一定;由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同,则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同;要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大,则必使粒子在磁场中运动经过的弦长
最大;因而圆形磁场区域的直径OP即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦;故α粒子从点O入磁场而从
点P出场的轨迹如图圆O’所对应的圆弧示,该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。由前面计算知△SOP必为等边三角形,故α=30°且θ=2α=60°。此过程中粒子在磁场中运动的时间由
即为粒子 在磁场中运动的最长时间。

【例6】一质量m、带电q的粒子以速度V
0
从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于
纸面的圆形匀强磁场区域中,要使该粒子飞 出磁场后沿BC射出,求圆形磁场区域的最小面积。

分析:由题中条件求出粒子在磁场中作 匀速圆周运动的半径为一定,故作出粒子沿AB进入磁场而从
BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示, 只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求;故由直
径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域 必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。由于三角形ABC为
等边三角形,故图中α=30°,那 么 ,故最小磁场区域的面积为

【例7】有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处,如图所 示相同的速率v
0
向第一象限平面内的不同
方向发射电子,已知电子质量为m,电量为 e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场
后,都能平行于x轴沿+x方向运动,求 该磁场方向和磁场区域的最小面积s。

分析:由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R= mv
0
Be是确定的,设磁场区域足够大,作出电子
可能的运动轨道如图所示,因为电 子只能向第一象限平面内发射,所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆
O
1
,它就是磁 场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心,以R为半径的圆弧O
1
O2
O
n

由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场,故由几何知识有 电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。
如对图中任一轨迹圆O
2
而言,要使电子能 平行于x轴向右飞出磁场,过O
2
作弦的垂线O
2
A,则电子必将从点
A飞出,相当于将此轨迹的圆心O
2
沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见 我们将轨迹的
圆心组成的圆弧O
1
O
2
O
n
沿y方 向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界,图中圆弧OAP示。综上
所述,要求的磁场的最小 区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO
1
PC的面积减去扇形OO
1
P的面积即为
OBPC的面积;即R- πR4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S=2(R-πR4)=(π2 -1)(mv
0
Be)
2
2222

四、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的多解型问题
抓住多解的产生原因:①速度方向的不确 定引起的多解,②与自然数相关的多解即粒子运动时间与运
动周期的倍数不确定。
【例8】在 前面“【例4】”中若将档板取走,磁场磁感应强度为B,当电子以速率
后要击中O点,则点S处电子的 射出方向与OS的夹角为多少?从S到点O的时间多少?
从点S射出

分析:由已知 条件知电子圆周运动的半径,电子从点S射出后要经过点O即直线SO为
圆的一条弦,由图知必有两种运 动轨迹存在;由于题中SO=L=r,故∠OSO
2
=60°,那么电子从点S的发
射 速度V
2
的方向与SO所成的夹角α=30°;图中∠OSO
1
=60°,故 电子的发射速度V
1
的方向与SO所成的
夹角θ=150°。
【例9】一质 量m带电q的粒子以速率V垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中,粒子经过一段时间
受到的冲量的大小 为mv,粒子重力不计。则此过程经历的时间为多少?

分析:粒子在磁场中作匀速圆周运动 的半径,右图示设粒子的初位置为a,因其受冲量的
大小为mv而方向未知故必有右图中的两种情况,即 未动量的方向有P
1
、P
2
两个,对应的冲量方向仍有I
1

I
2
两个。粒子作匀速圆周运动中动量的大小始终为mv不变,由动量定理可知而< br>;故粒子在该过程中经历的时间为,
,其中。
【例10】在半径为r的圆筒中有沿筒轴 线方向的匀强磁场,磁感应强度为B;一质量为m带电+q的粒
子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于 磁场射入筒中;若它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒壁发生弹性
碰撞,欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒 壁一周后仍从A处射出;则B必须满足什么条件?带电粒子在磁
场中的运动时间?
分析:由于 粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动,要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场,
且粒子与筒壁 的碰撞次数未知,故设粒子与筒壁的碰撞次数为n(不含返回A处并从A处射出的一次),由
图可知,其 中n为大于或等于2的整数(当n=1时即粒子必沿圆O的直径作直线
运动,表示此时B=0);由图知 粒子圆周运动的半径R为,再由粒子在磁场
中的运动半径可求出。

粒子在磁场中的 运动周期为,粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得
,粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过 程中将经过n+1段圆弧,故粒子
运动的总时间为:,将前面B代入T后与共同代入前式得

五、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的动力学问题
注意洛仑兹力不做功,洛仑兹力的方向将 随物体的运动方向的变化而发生相应的变化;正确结合变速
圆周运动中的动力学关系与能量守恒定律处理 。
【例11】金属小球质量m带电-q,由长L的绝缘细线悬挂于图示匀强磁场中的O点,然后将小球 拉到
θ=600处由静止释放,小球沿圆弧运动到最低点时悬线上的张力恰好为0;求①磁场的磁感应强 度B=?
②小球住复摆动中悬线上的最大张力多少?

分析:①小球从点A由静止释 放后在绕点O运动中必同时受到重力、线的拉力及洛仑兹力作用,由左
手定则知小球从A向P运动中洛仑 兹力方向必沿半径指向圆心,且洛仑兹力对小球不做功;故小球到达P
点的速度大小为……⑴;小球在P 点受力如图示由圆周运动有
……⑵;……⑶;由⑴⑵⑶共得,由“⑴”
求出故。
②小 球从右向左运动或从左向右运动中由于所受洛仑兹力的方向将发生变化故悬线上的张力大小将
作相应的变 化,分析可知当小球从左向右运动经过点P时线上的张力必有最大值,小球从左向右经过点P
时的速度大 小仍为有 ;小球从左向右过P点时其受
到的洛仑兹力方向必沿半径向外,故P点处线上的张力T
p
为可得
,将
到。
及θ=600代入前式得
总之在处理带电粒子 在磁场中的匀速圆周运动问题中,我们必须将物理规律与数学知识紧密结合,准
确分析粒子运动过程及临 界状态与极值条件;处理带电粒子在磁场中的变速圆周运动问题时,时刻注意洛
仑兹力的方向变化并在解 答中注意洛仑兹力不做功,正确利用动力学规律与能量守恒定律。
带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析

2011-12-14 21:44:40| 分类: 高三物理 |字号大中小 订阅
一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题

找圆心、画轨迹是解题的 基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用
下必作匀速圆周运动,抓住运动中的任两点 处的速度,分别作出各速度的垂线,则二垂线的
交点必为圆心;或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找 出圆心;再利用数学知识求出圆周
运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。

(04天津)钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为
和间电场时,其速 度为



电荷量为q,它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极
经电场加速后,沿
直平板电极
方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场,< br>点离开磁场时,其速度方向与方位的夹角,当粒子从,如图所
示,整个装置处于真空中。

(1)写出钍核衰变方程;

(2)求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R;

(3)求粒子在磁场中运动所用时间。



解析:(1)钍核衰变方程


(2)设粒子离开电场时速度为,对加速过程有




粒子在磁场中有


由②、③得 ④

(3)粒子做圆周运动的回旋周期




粒子在磁场中运动时间


由⑤、⑥得 ⑦

二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题

导致轨道半径变 化的原因有:①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板
速度变化;带电粒子使空气电离导 致速度变化;回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导
致半径变化。如通电导线周围磁场,不同区域的 匀强磁场不同;磁场随时间变化。③动量变
化导致半径变化。如粒子裂变,或者与别的粒子碰撞;④电量 变化导致半径变化。如吸收电
荷等。总之,由看
m、v、q、B
中某个量或某两个量的 乘积或比值的变化就会导致
带电粒子的轨道半径变化。



(06年全国2)如图所示,在
x
<0与
x
>0的区域中,存在磁感应强度大 小分别为
B
1

B
2
的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里 ,且
B
1

B
2
。一个带负电的粒子从坐标原点O以速
v
沿
x
轴负方向射出,要使该粒子经过一段时间后又经过
O< br>点,
B
1

B
2
的比值应满足什么
条件?

解析:粒子在整个过程中的速度大小恒为
v
,交替地在xy平面内< br>B
1

B
2
磁场区域中做
匀速圆周运动,轨迹都是半 个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为
m

q
,圆周运动
的半 径分别为和
r
2
,有


r
1
= ①
r
2
= ②

分析粒子运动的轨迹。如图所示 ,在
xy
平面内,粒子先沿半径为
r
1
的半圆
C
1
运动至
y
轴上离
O
点距离为2
r
1

A
点,接着沿半径为2
r
2
的半圆
D
1
运动至y轴的
O
1
点,
O
1
O距离

d=2(
r
2

r
1
) ③



此后,粒子每经历一次“回旋”(即从
y
轴出发沿半径
r< br>1
的半圆和半径为
r
2
的半圆回到
原点下方
y
轴),粒子
y
坐标就减小
d


设粒子经过n次 回旋后与y轴交于
O
n
点。若
OO
n

nd
满足
nd
=2
r
1


则粒 子再经过半圆
C
n
+1
就能够经过原点,式中n=1,2,3,……为回旋次 数。

由③④式解得 ⑤

由①②⑤式可得
B
1

B
2
应满足的条件

n=1,2,3,……⑥

三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题

带电粒子在磁 场中运动的临界问题的原因有:粒子运动范围的空间临界问题;磁场所占
据范围的空间临界问题,运动电 荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好,最大、最多、
至少等关键字

(07全国1)两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x
轴和y轴,交点 O为原点,如图所示。在y>0,0在y>0,x>a的 区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为B。在O
点处有一小孔,一束质量为 m、带电量为q(q>0)的粒子沿x轴经小孔射入磁场,最后打在
竖直和水平荧光屏上,使荧光屏发亮 。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数
值.已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为
2:5,在磁场中运动的总时间为7T12,其中T为该 粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作
圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响 )。



解析:粒子在磁感应强度为
B
的匀强磁场中运动半径为: ①

速度小的粒子将在
x
<
a
的区域走完半圆,射到竖直屏上。半圆的直径在y
轴上,半径的
范围从0到
a
,屏上发亮的范围从0到2
a

轨道半径大于
a
的粒子开始进入右侧磁场,考虑
r =a
的极限情况,这种粒子在右侧的圆
轨迹与
x
轴在D点相切(虚线),OD
=2
a
,这是水平屏上发亮范围的左边界。



速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示,它由两段圆弧组成,圆心分别为
C< br>和

y
轴上,有对称性可知在
x
=2
a
直线 上。

C


t
1
为粒子在0<
x
<
a
的区域中运动的时间,
t
2
为在
x
>
a
的区域中运动的时间,由题意可





由此解得:

② ③
由②③式和对称性可得




⑥ 所以 ⑦
即弧长AP为14圆周。因此,圆心


x
轴上。
设速度为最大值粒子的轨道半径为
R
,有直角

可得



由图可知
OP
=2
a
+R
,因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标



四、带电粒子在有界磁场中的极值问题

寻找产生极值的条件:①直径是 圆的最大弦;②同一圆中大弦对应大的圆心角;③由轨
迹确定半径的极值。



有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处,如图所示相同的速率v
0
向第一象限平面内的
不同方向发射电子,已知电子质量为m,电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、 磁感应
强度为B的匀强磁场后,都能平行于x轴沿+x方向运动,求该磁场方向和磁场区域的最小
面积s。

解析:由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R=mv
0Be是确定的,设磁场区域足够
大,作出电子可能的运动轨道如图所示,因为电子只能向第一象限平 面内发射,所以电子运
动的最上面一条轨迹必为圆O
1
,它就是磁场的上边界。其它各 圆轨迹的圆心所连成的线必为
以点O为圆心,以R为半径的圆弧O
1
O
2O
n
。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场,
故由几何知识有电子的飞出 点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O
2
而言,要
使电子能平行于x轴 向右飞出磁场,过O
2
作弦的垂线O
2
A,则电子必将从点A飞出,相当于< br>将此轨迹的圆心O
2
沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹 的圆
心组成的圆弧O
1
O
2
O
n
沿y方向向上平移 了半径R后所在的位置即为磁场的下边界,图中圆弧
OAP示。综上所述,要求的磁场的最小区域为弧O AP与弧OBP所围。利用正方形OO
1
PC的面
积减去扇形OO
1
P的面积即为OBPC的面积;即R- πR4。根据几何关系有最小磁场区域的面
积为S=2(R-πR4)=(π2 -1)(mv
0
Be)。

五、带电粒子在复合场中运动问题

复合场包括:磁场和电场,磁场和重力场,或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡
问题,匀变速运动问题,非匀变速运动问题,在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特
点。 粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。

222
22
(07四 川)如图所示,在坐标系
Oxy
的第一象限中存在沿
y
轴正方形的匀强电场, 场强
大小为
E
。在其它象限中存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。
A< br>是
y
轴上的一点,它
到座标原点
O
的距离为
h

C

x
轴上的一点,到
O
点的距离为
l
,一质量为
m
、电荷量为
q
的带负电的粒子以某一初速度沿
x轴方向从
A
点进入电场区域,继而通过
C
点进入大磁场区
域,并 再次通过
A
点。此时速度方向与
y
轴正方向成锐角。不计重力作用。试求:



(1)粒子经过
C
点时速度的大小合方向;

(2)磁感应强度的大小
B


解析:(1)以a表示粒子在电场作用下的加速度,有



加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v
0
,由 A点运动到C点经历
的时间为t,则有





由②③式得 ④

设粒子从点进入磁场时的速度为v,v垂直于x轴的分量

v
1
= ⑤

由①④⑤式得

v
1
== ⑥

设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α,则有

tanα=


由④⑤⑦式得 ⑧

(2)粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R,
则有






设圆心为P,则PC必与过C点的速度垂且有
角,由几何关系得



由⑧⑩⑾式解得


==R。用β表示与y轴的夹

R=

由⑥⑨⑿式得


B= ⒀

六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题

多解形成原因:带电粒子的电性不确定形 成多解;磁场方向不确定形成多解;临界状态
的不唯一形成多解,在有界磁场中运动时表现出来多解,运 动的重复性形成多解,在半径为
r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场,磁感应强度为B;一质量为m带 电+q的粒子以速度
V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中;若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒 壁发生
弹性碰撞,欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出;则B必须满足什么条
件?



带电粒子在磁场中的运动时间分析:由于粒子从A处 沿半径射入磁场后必作匀速圆周运
动,要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场,且粒子与筒壁的碰撞次数 未知,故设粒子与筒
壁的碰撞次数为n(不含返回A处并从A处射出的一次),由图可知其
中n 为大于或等于2的整数(当n=1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动,表示此时B=0);
由图知粒子 圆周运动的半径R,再由粒子在磁场中的运动半径
可求出


粒子在 磁场中的运动周期为,粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得
,粒子从A射入磁场再从A沿半径射出 磁场的过程中将经过n+1段圆
弧,故粒子运动的总时间为:,将前面B代入T后与共同代入前式得。< br>

练习

1.一质量为m,电量为q的负电荷在磁感 应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿
固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它运动的 平面,且作用在负电荷的电场
力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )

A. B. C. D.

2.(07宁夏)在半径 为
R
的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面,磁感应强
度为
B。一质量为
m
,带有电量
q
的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径
AD
方向经
P
点(
AP

d
)射入磁场(不计重 力影响)。



⑴如果粒子恰好从
A
点射出磁场,求入射粒子的速度。

⑵如果粒子 经纸面内
Q
点从磁场中射出,出射方向与半圆在
Q
点切线方向的夹角为φ(如图)。求入射粒子的速度。

3.(新题)如图以ab为边界的二匀强磁场的 磁感应强度为B
1
=2B
2
,现有一质量为m带
电+q的粒子从O点 以初速度V
0
沿垂直于ab方向发射;在图中作出粒子运动轨迹,并求出粒
子第6次穿 过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。(粒子重力不计)



4.一质量m、带电q的粒子以速度V
0
从A点沿等边三角形ABC的AB方向射 入强度为B
的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中,要使该粒子飞出磁场后沿BC射出,求圆形磁场区域< br>的最小面积。



5.如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图,质量m带电-q的
粒子以与CD成 θ角的速度V
0
垂直射入磁场中;要使粒子必能从EF射出则初速度V
0
应满 足
什么条件?EF上有粒子射出的区域?



参考答案:

1.AC

2.


3.


4.


5.







中南大学新校区-马克思主义是


送瘟神全文-800米跑步技巧


送老师的八种礼品-四川传媒大学


选择专业-1901


prefer的用法-江辰陈小希


未来10年最赚钱行业-郑州市财经学院


痛到心碎的短文-朱门酒肉臭的臭读音


英语作文介绍自己-德国留学语言要求



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