河北省重点大学排名-命运赋原文
高考数学常用公式集锦
(2007.2)
1.
2
②函数
y
f (mx
a)
与函数
y
f (b
mx)
的图象关于直线
x
a b
2m
对称 .
B
符合
A B
;
B
符合 A∪B=A ;
B
符合
A B
。
A C
U
B
A
BAABBABC
U
BC
U
A
C
U
ABR
若A
={
a
1
, a
2
, a
3
特殊地 :
y
③函数
y
④函数
y
⑤函数
y
f ( x
a)
与函数
y
f ( a
x)
的图象关于直线
x
a
对称
f ( x)
的图象关于直线
x a
对称的解析式为
y f (2a x)
f ( x)
的图象关于点
( a,0)
对称的解析式为
y
f (x) y
m
f (2a x)
3.
a
n
},
则A的子集有
2
nn
个 , 真子集有 (
2
- 1) 个 , 非空真子集有
和
n
(
2
- 2) 个
4.
二次函数的解析式的三种形式
①一般式
2
f
1
( x)
的图象关于直线
y=x
对称
.
8. 分数指数幂
a
n
n
a
m
(
a
0, m, n
N
,且
n 1
).
f (x) ax bx c(a
a(x
0)
;
②
顶点式
f ( x) a( x h)
2
k(a
m
0)
;
a
n
1
(
a
m
0, m, n N
,且
n 1
).
③零点式
f ( x)
x
1
)( x x
2
)(a
0)
.
ax
x
1
)( x
x
2
)( x x
3
)(a
x
2
那么
三次函数的解析式的三种形式①一般式
f ( x)
②零点式
a(x
5.
设
x
1
x
2
a,b , x
1
3
bx
0)
2
cx d (a
0)
f ( x)
a
n
9.
log
a
N
b
.
a
b
N (a 0, a 1,N 0)
log
a
M log
a
N
log
a
MN ( a
0.a 1,M
f ( x)在 a,b
上是增函
f ( x
1
) f (x
2
)
log
a
M log
a
N
log
a
M
N
0, N 0)
(a 0.a
1,M 0, N 0)
n
( x
1
x
2
) f ( x
1
) f ( x
2
)
0
x
1
x
2
0
数;
f ( x
1
) f (x
2
)
10. 对数的换底公式
log
a
N
log
m
N
log
m
a
. 推论
log
a
m
b
( x
1
x
2
) f ( x
1
) f ( x
2
)
0
x
1
x
2
0
f ( x) 在 a,b
上 是 减 函
a
log
a
b
.
m
n
对数恒等式
数 .
设函数
y
如果
f (x)
6. 函数
y
①
a
logN
s
1
,
n
N
(
a
0, a
1
)
f (x)
在某个区间内可导,如果
0
,则
f (x)
为减函数
.
f ( x)
的图象的对称性
:
f ( x)
0
,则
f ( x)
为增函数;
11.
a
n
1
2
(
数列
{ a
n
}
的前
n
项的和为
s
n
a
1
a
2
a
n
).
s
n
s
n 1
, n
12. 等差数列
n
a
的通项公式
a
n
a
1
( n 1)d dn a
1
d (n
N
*
)
;
函 数
f (
y f (x)
的图象关于
a ) x ( f fa( 2ax
y f ( x)
的 图
直 线
x a
对
称
x)
f
直
x
x
②
函 数 象 关 于
a b
2
a
n
的变通项公式
a
n
a
m
(n m)d
对于等差数列
a
n
,若
n
m p
q
,(m,n,p,q
为正整数
)则
a
n
a
m
a
p
a
q
。
13. 等差数列
14.若数列
a
n 对 称
( f
f
b
( a
x
b ) x
.
( f
x
f (x) f (2a x)
③函数
y f ( x)
的图象关于点
(a,0)
对称
函数
y f ( x)
的图象关于点
( a,b)
对称
f (x) 2b f (2a x)
7. 两个函数图象的对称性 :
①函数
y
f ( a ) x
S
是等差数列,
S
n
是其前
3 k
n 项的和,
k
N
,那么
S
k
,
S
2 k
S
k
*
,
3 k
S
2 k
成等差数列。如下图所示:
S
a
1
a
2
a
3
aa
kk 1
aa
2k2k 1
a
S
2 k
3k
f ( x)
与函数
y f ( x)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴)
对称
.
S
k
S
2 k
S
k
S
3 k
n(a
1
a
n
)
其前 n 项和公式
s
n
na
1
n( n
1)d
2
d) n
.
2
2
d
2
n
(a
1
1
2
15.数列
a
n 是等差数列
a
n
kn
b
,数列
a
n
是等差数列
S
n
=
An
2
Bn
16.设数列
a
n
是等差数列,
S
奇
是奇数项的和,
S
偶
是偶数项项的和,
S
n
是前
n
项
的和,则有如下性质:
○
1 前 n 项的和
S
n
S
奇
S
偶
○2 当 n 为偶数时,
S
n
偶
S
奇
d
,其中
d为公差;
2
○3 当 n 为奇数时,则
S
n 1 n 1
S
奇
奇
S
偶
a
中
,
S
奇
a
中
,
S
偶
a
中
,
n
1
,
2
2
S
偶
n 1
S
n
S
奇
S
偶
n
S
奇
S
偶
S
奇
S
偶
(其中
a
中
是等差数列的中间一项)
。
17.若等差数列
a
n
的前
2n
1
项的和为
S
2n 1
,等差数列
b
n
的前
2n 1
项的和
为
S
a
2
'
n 1
,
则
n
S
2n 1
。
b
n
S
2n
'
1
18. 等比数列
a
n
的通项公式
a
a q
n 1
a
1
q
n
(n
N
*
)
;
n 1
q
等比数列
a
n
的变通项公式
a
n
a
m
q
n
a
m
1
(1 q
n
)
其前 n 项的和公式
s
, q1
aq
,q1
n
1
q
或
a
1
n
s
n
1 q
.
na
1
, q
1
na
1
,q 1
a
为正整数
19. 对于等比数列
n
,若
n
m
)
,则
a
n
a
m
a
u
a
v
也就是:
a
1
a
n
a
2
a
u
v
(n,m,u,v
n 1
a
3
a
n 2
。如图所示:
a
1
a
n
a
1
,a
2
,a
3
,
, a
n 2
,a
n 1
,a
n
a
2
a
n
1
20. 数列
a
n
是等比数列,
S
n
是其前
n 项的和,
k N
*
,那么
S
k
,
S
2k
S
k
,
S
3 k
S
2k
成等比数列。如下图所示:
S
aa
3 k
a
a
1
a
2
a
3
kk 1
a
2 k
a
2 k 1 3k
S
k
S
2 k
S
k
S
3 k
S
2k
21.
同角三角函数的基本关系式
sin
2
cos
2
1
,
tan
=
sin
,
tan cot 1
cos
2
1
1 tan
cos
2
22. 正弦、余弦的诱导公式
n
n
2
sin( )
( 1) sin
, n为偶数
2
n 1
( 1)
2
co s
, n为奇数
n
co s(
n ( 1)
2
)
co s
, n为偶数
n 1
2
(
1)
2
sin
, n为奇数
cos( ) cos ,sin( ) sin
即: 奇变偶不变 , 符号看象限 , 如
2
2
sin( ) sin ,cos( ) cos
23.
和角与差角公式
sin( ) sin cos
cos sin
;
cos( ) cos cos sin sin
;
tan( )
tan tan
.
1 tan
tan
sin( )sin(
)
sin
2
sin
2
( 平方正弦公式 );
cos( )cos(
)
cos
2
sin
2
.
a sin
b cos
=
a
2
b
2
sin( )
(辅助角
所在象限由点
( a, b)
的象限决
定,
tan
b
).
a
24.
二倍角公式
sin 2 sin cos
.
cos 2
cos
2
sin
2
2cos
2
1
1 2sin
2
. (升幂公式)
cos
2
1 cos2
,sin
2
1 cos 2
(降幂公式)
tan 2
2tan
.
2
2
1
tan
2
1
tan
2
25.
万能公式 :
sin 2
2 tan
1
tan
2
,
cos2
1
tan
2
26.
半角公式 :
tan
sin 1 cos
sin
27.
三函数的周期公式
2
1 cos
函数
y A sin( x
)
,x∈
R
及函数
y Acos( x
)
,x
∈R(A,
ω
,
为常数,
2
2
且 A≠ 0, ω> 0) 的周期
ω 未说明大于 0, 则
T
T
;若
| |
函数
y
tan( x
)
,
为常数,且 ≠ , ω> 的
x k
, k Z
ω
(A,
,
A 0 0)
2
周期
T
.
28.
y
sin x
的单调递增区间为
2k
2
, 2k
k
Z
单调递减区间为
2k
,2k
3
k Z
, 对 称 轴 为
2
x k
( k Z )
,
对 称 中 心 为
2
2
2
k ,0
( k Z )
29.
y
cosx
的 单 调 递 增 区 间 为
2k
,2 k k
Z
单调递减区间为
2k ,2 k k
Z
,
对称轴为
x
k (k
Z )
,
对称中心为
k ,0 ( k
Z)
2
30.
y
tan x
的 单 调 递 增 区 间 为
k , k
k Z
,对称中心为
2
2
(
k
, 0 )k( Z )
2
31.
正弦定理
a
b
c
sin A
sin B
32.
余 弦 定 理
2
2
sin C
2R
a
cb oc s
bA
2
2 2
b
c 2
2
;
c a
2ca cosB
;
c
2
a
2
b
2
2ab cosC
.
33. 面积定理( 1)
S
111
ah
bh ch
(
h
a
、 h
b
、 h
c
分别表示
a、
b、
c
边上
b c
的高) .
2
a
2
2
1
1
1
(2)
S
ab sin C
bc sin A ca sin B
.
S
2
2
2
(3)
OAB
1
(| OA| |OB |)
2
(OA OB )
2
=
1 OA OB tan
( 为
OA,OB
的夹角 )
2
2
34. 三角形内角和定理
在△ ABC中,有
A B C
C
A B
C
( A B)
2 2
2
2C 2 2( A
B)
.
35.
d
平面两点间的距离公式
A ,B
=
x )
2
( y y )
2
(A
( x , y )
,B
( x , y
)
).
|AB| AB AB
( x
设
2
1
2
1 1 1 2 2
36.
向量的平行与垂直
a=
( x
1
, y
1
)
, b=
(x
2
, y
2
)
,且
b
0,则
a∥ bb=λa
x
1
y
2
x
2
y
1
0
. a
b(a 0)
a
·b=0
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.
设
37.
线段的定比分公式
P
1
( x
1
, y
1
)
,
P
2
( x
2
, y
2
)
,
P( x, y)
是线段
P
1
P
2
的分点
,
是实数,且
PP
1
PP
2
,则
x
x
1
x
2
OP
1
OP
2
1
OP
y
y
OP
tOP
1
(1 t)OP
2
1
y
2
1
1
t
1
(
).
1
38.
若
OA
xOB
yOB
则
A,B,C
共线的充要条件是
x+y=1
39.
三角形的重心坐标公式
△ ABC 三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则△
ABC的重心的坐标是
G (
x
1
x
x
3
,
y
2
1
y
y
2
3
)
.
3
3
40. 点的平移公式
x
'
x h x
x
'
h
OP
'
OP
PP
'
( 图形 F上的
y
'
y k y
y
'
k
任意一点
P(x , y) 在平移后图形
F
'
上的对应点为
P
'
( x
'
, y
'
)
,且
PP
'
的坐标为
(h, k )
).
41. 常用不等式:
(1)
a,b
R
a
2
b
2
2ab
(
当且仅当
a=
b
时取“
=”号)
.
(2)
a,b
R
a b
2
ab
(
当且仅当
a=
b
时取“
=”号)
.
(3)
a
3
b
3
c
3
3abc(a 0,b 0, c 0).
(4)
a
b a b
a
b
注意等号成立的条件
(5)
1
ab a b
a
2
b
2
( a 0, b 0)
1 1
2
2
a b
42. 极值定理 已知
x, y
都是正数,则有
(1
)如果积
xy
是定值
p
,那么当
x y
时和
x y
有最小值
2
1
p
;
(2
)如果和
x y
是定值
s
,那么当
x
y
时积
xy
有最大值
s
2
.
4
43.
一元二次不等式
ax
2
bx
c 0(或
0) ( a 0,
b
2
4ac
0)
,如果
a
与
ax
2
bx
c
同号,则其解集在两根之外;如果
a
与
ax
2
bx c
异号,则其解
集在两根之间
. 简言之:同号两根之外,异号两根之间.
x
1
x x
2
( x x
1
)( x x
2
) 0( x
1
x
2
)
;
x x
1
, 或 x x
2
( x x
1
)( x x
2
) 0( x
1
x
2
)
.
44.
含有绝对值的不等式
当 a> 0 时,有
x a x
2
a
2
a x a
x a
x
2
a
2
x a
或
x
a
.
f (x) 0
45.
无理不等式( 1)
f (x) g( x) g(x) 0
f (x) g(x)
f (x)
0
(2)
f ( x) g ( x)
g( x) 0
或
f ( x) 0
.
g (x) 0
f (x)
[ g (x)]
2
f (x)
0
(3)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
.
f (x)
[ g( x)]
2
46. 指数不等式与对数不等式
(1)
当
a 1
时,
f ( x) 0
a
f ( x)
a
g ( x)
f ( x) g( x)
;
log
a
f ( x)
log
a
g (x)
g( x) 0
.
f ( x) g( x)
(2) 当
0
a
1
时,
f ( x) 0
a
f ( x)
a
g ( x)
f ( x) g( x)
;
log
a
f ( x)
log
a
g( x)
g( x) 0
f ( x) g( x)
47.斜率公式
k
(
y
2
y
1
P
1
( x
1
, y
1
)
、
P
2
( x
2
, y
2
)
)
x
2
x
1
直线的方向向量
v=(a,b),则直线的斜率为
k
=
b
(
a
0)
a
48.直线方程的五种形式 :
(1)点斜式
y
y
1
k( x
x
1
)
( 直线
l
过点
P
1
( x
1
, y
1
)
,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y kx b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
(3)两点式
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y
2
)(
P
1
( x
1
, y
1
)
、
P
2
(x
2
, y
2
)
(
x
1
x
2
)).
y
2
y
1
x
2
x
1
x
y 1(
a b
,
分别为 轴 轴上的截距
(4)截距式
x
y
,
且a
0,b 0)
a
b
(5)一般式
Ax By C 0
(其中 A、 B 不同时为 0).
49.两条直线的平行和垂直
( 1)若
l
1
: y
k
1
x
b
1
,
l
2
: y
k
2
x b
2
①
l l
②
12
k
1
k
2
, b
1
b
2
;
l
1
l
2
k
1
k
2
1
.
(2)
若
l
1
: A
1
x
B
1
y C
1
0
,
l
2
: A
2
x
B
2
y C
2
0
,
①
l
1
l
2
A
1
B
2
A
2
B
1
0且
A
;②
2
C
1
0
l
k
AC
1 2
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
;
50.夹角公式
tan |
k
2
1
|
.(
l
1
: y
k
1
x
b
1
,
l
2
: y
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
1
)
AB
A
1
k
2
k
1
2
B
1
(
l
1
: A
1
x B
1
y C
1
0
,
l
2
: A
2
x B
2
y C
2
0
,
AA
BB 0
).
tan
1
2
1 2
AB
1 2
1
A
2 1
B
2
直线
l
与
1
l
时,直线
l
1
l
的夹角是
2
2
.
2
直 线
l
2
的 角
tan
k
2
k
1
l
1
到是
(
l
1
: y k
1
x b
1
,
l: yk
x b
1
k
2
k
1
2 22
,
k
1
k
2
1
)
| Ax
0
By
0
C |
51.点到直线的距离
d
( 点
P( x
0
, y
0
)
, 直 线
l
:
A
2
B
2
Ax By C 0
).
52.两条平行线的间距离
|C
2
C
1
|
:
d
Ax By C
1
0, l
2
Ax By C
2
0, C
1
C
2
)
).
A
2
B
2
(直线
l
1
53. 圆的四种方程
(1
)圆的标准方程
( x
a)
2
( y b)
2
r
2
.
(2
)圆的一般方程
x
2
y
2
Dx Ey F
0
(
D
2
E
2
4F
>0).
(3
)圆的参数方程
x a r cos
.
y b r sin
(4
)圆的直径式方程
(x
x
1
)( x x
2
)
( y
y
1
)( y y
2
)
0
(
圆的直径的端点是
A( x
1
, y
1
)
、
B( x
2
, y
2
)
).
54. 圆中有关重要结论 :
若
(1)
P(
x
0
,
y
0
)
是圆
x
2
y
2
r
2
上的 点
,
则过点
P(
x
0
,
y
0
)
的 切线方 程为
xx
0
yy
0
r
2
若
(2)
P(
x
0
,
y
0
)
是圆
( x
a)
2
( y
b)
2
r
2
上的点
,
则过点
P(
x
0
,
y
0
)
的切线方
程为
( x
0
a)( x
a) ( y
0
b)( y b)
r
2
(3) 若 P(
x
0
,
y
0
)
是圆
x
2
y
2
r
2
外一点 , 由 P(
x
0
,
y
0
)
向圆引两条切线
,
切点分别为
A,B
则直线 AB 的方程为
xx
0
yy
0
r
2
(4)
若
P(
x
0
,
y
0
)
是圆
(x
a)
2
( y
b)
2
r
2
外一点 ,
由 P(
x
0
,
y
0
)
向圆引两条
切线 , 切点分别为 A,B 则直线 AB的方程为
( x
0
a)( x a ) ( y
0
b)( y
b) r
2
55. 椭圆
x
2
y
2
1( a b 0)
的参数方程是
x
a cos
.
a
2
b
2
y b sin
56.
椭圆
x
2
y
2
1(a b
0)
焦半径公式
a
2
,
a
2
.
a
2
b
2
PF
c
)
1
e(x
PF
2
e( c x )
56. 椭圆 x
2
y
2
1(a b
的准线方程为
a
2
,
a
2
b
2
0)
x
c
椭圆
x
2
2
y
2
1(a b
0)
的准线方程为
y
a
2
ba
2
c
57. 椭圆
x
2
y
2
1(a
b 0)
的通径 ( 过焦点且垂直于对称轴的弦
) 长为
2b
2
a
2
b
2
2
a
58.P 是椭圆
x
2
2
y
2
1(a b
0)
上一点
,F
1
,F
2
是它的两个焦点 , ∠ F
1
P F
2
=θ
a
b
则△PF
1
F
2
2
的面积 =
b
tan
2
59. 双曲线
x
2
y
2
0)
的准线方程为
x
a
2
a
2
2
1(a 0, b
b
c
双曲线
x
2
y
2
1(a
0, b
0)
的准线方程为
y
a
2
b
2
a
2
c
60. 双曲线
x
2
y
2
1(a 0,b
0)
的渐近线方程为
y
b
2
x
2
ab
2
a
双曲线
x
y
2
a
x
b
2
1(a
a
2
0, b
0)
的的渐近线方程为
y
b
61.P
是双曲线
x
2
y
2
是它的两个焦点 , ∠F
P F
=θ
a
2
b
2
1(a 0,b 0)
上一点 ,F
,F
1
2
1
2
则△PF
2
1
F
2
的面积 =
b
cot
2
y
2
或
, 其 中
m n
62.
抛物 线
y
2
2 px
上 动 点 可 设 为 P
(
, y )
P( 2
pt
2
,2 pt )或
P
(x , y )
2p
y
2
2 px
.
63. P(
x
0
,
y
0
)
是抛物线
y
2
2 px
上的一点
,F
是它的焦点
,
则|PF|=
x
0
+
p
2
64.
抛物线
y
2
2 px
的焦点弦长
l
2 p
, 其中 是焦点弦与 x 轴的夹角
sin
2
65.
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB
(x
1
x
2
)
2
( y
1
y
2
)
2
或
AB
| x
1
x
2
| 1 k
2
1 k
2
(弦端点 A
(x
1
, y
1
), B( x
2
, y
2
)
,由方程
a
y kx b
消去 y 得到
F(x, y) 0
ax
2
bx c
0
,
0
,
k
为直线的斜率)
.
若 ( 弦 端 点
y kx b
A
(x
1
, y
1
), B( x
2
, y
2
)
由 方 程
消 去 x 得 到
F( x , y) 0
2
a y b y c0
, 则
1
0
,
k
为直线的斜率).
1
AB
| y
1
y
2
|
1
k
2
1
a
k
2
关 于 点
66.
圆锥曲线
F ( x, y) 0
P( x
0
, y
0
)
成 中 心 对 称 的 曲 线 是
F (2 x
0
-x,2 y
0
y) 0
.
67.
共线向量定理 对空间任意两个向量
a、b(b≠0 ), a∥ b 存在实数 λ使 a=λ b.
O和不共线的三
68.
对空间任一点
点
A、 B、C,满足
OP
xOA yOB
zOC
,
则四点 P、A、B、 C 是共面
x y z
1
.
69.
空间两个向量的夹角公式
cos 〈
a
, b〉
=
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
(
a
=
a
1
2
a
2
2
a
3
2
b
1
2
b
2
2
b
3
2
(a
1
, a
2
, a
3
)
,b=
(b
1
,b
2
, b
3
)
).
70.
直线
AB
与平面所成角
arc sin AB m
(
m
为平面
的法向量 ).
| AB || m |
71.二面角
l
的平面角
arc cos m n
或
arc cos
(
m
,
n
| m || n|
| m ||n |
为平面 ,
的法向量) .
72.
设 AC是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO与 AB所成的角为
1
,AB
与 AC所成的角
为
2
,AO与 AC所成的角为
.则
cos
cos
1
cos
2
.
73.
若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
1
,
2
, 与
二面角的棱所成的角是 θ ,则有
sin
2
sin
2
;
|
1
2
|
sin
2
1
sin
2
2
2sin
1
sin
2
cos
180
(
1 2
)
(当且仅当
90
时等号成立
).
若
74.
空间两点间的距离公式
A
( x
1
, y
1
, z
1
)
,B
( x
2
, y
2
, z
2
)
,则
d
A, B
=
| AB | AB AB
(x
2
x
1
)
2
( y
2
y
1
)
2
( z
2
z
1
)
2
.
75.
点
Q
到直线
l
距离
h
1
(| a ||b |)
2
(a
b)
2
( 点
P
在直线
l
上,直线
l
的方
| a |
向向量 a=
PA
,向量 b=
PQ
).
| CD n |
76.
异面直线间的距离
d
(
l
1
, l
2
是两异面直线, 其公垂向量为
n
,
C、
D
分
| n |
别是
l
1
, l
2
上任一点,
d
为
l
1
, l
2
间的距离
).
77.
点
B
到平面
的距离
d
| AB n |
(
n
为平面
的法向量,
AB
是经过面
的
| n |
一条斜线,
A
).
78.
l
2
l
1
2
l
2
2
l
3
2
cos
2
1
cos
2
2
cos
2
3
1
(长度为
、
l
、
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、 l
2
、 l
3
,夹角分别为
12
3
)(立几中长方体对角线长的公式是其特例).
'
79.
面积射影定理
S
S
cos
( 平面多边形及其射影的面积分别是
S
、
S
'
,它们所在平面所成锐二面角的为
).
80.
球的半径是 R,则其体积是
V
4
R
3
, 其表面积是
S
4 R
2
.
3
1
81.
V
锥
Sh,V
柱
Sh,
3
82.
分类计数原理( 加法原理)
N
m
1
m
2
m
n
.
83.
分步计数原理( 乘法原理 )
N
m
1
m
2
m
n
.
84.
排列数公式
A
m
1) (n m
*
n
=
n(n
1)
=
n!
.(
n
,
m
∈
N
,且
m
n
)
.
( n m)!
85.
排列恒等式 (1)
A
n
m
(n m
1)A
n
m 1
;(2)
A
n
m
n
A
n
m
1
( 3)
nA
n
m
1
1
;
n m
A
n
m
( 4)
nA
n
n
A
n
n
1
1
A
n
n
;
(5)
A
n
m
1
A
n
m
mA
n
m 1
.
86.
组合数公式
C
m
A
n
m
n( n 1) (n m 1)
n
=
=
=
n!
(
n
,
m
∈N ,
*
A
m
m
1 2
m
m! (n m)!
且
m n
).
87.
组合数的两个性质 (1)
C
n
m
=
C
n
n
m
;(2)
C
n
m
+
C
n
m 1
=
C
n
m
1
88.
组合恒等式( 1)
m
n m 1
m 1
(2)
m
n
m
;
C
n
m
C
n
C
n
n m
C
n 1
(3)
C
n
m
n
C
n
m
1
1
;
( 4)
kC
n
k
1
1
m
nC
n
k
n
(5)
C
n
r
=
2
n
;
(
5
)
C
r
r
C
r
r
1
C
r
r
2
C
n
r
C
n
r
1
1
.
r 0
m m
89. 排列数与组合数的关系是:
A
n
m!C
n
.
90. 二项式定理
(a b)
n
C
n
0
a
n
C
n
1
a
n 12 n rr
T
b C
n
2
a
n 2
b
C
n
r
a b C
n
n
b
n
;
二项展开式的通项公式:
r 1
C
n
r
a
n r
b
r
(r
0,1,2
, n)
.
91.
等可能性事件的概率
P( A)
m
.
n
92.
互斥事件 A, B 分别发生的概率的和 P(A+ B)=P(A) +P(B) .
93.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
+A
2
+ + A
n
)=P(A
1
) + P(A
2
) + + P(A
n
) .
94. 独立事件 A, B 同时发生的概率 P(A· B)= P(A) ·P(B).
95.n 个独立事件同时发生的概率
P(A
1
· A
2
· · A
n
)=P(A
1
) · P(A
2
) · · P(A
n
) .
96.n 次独立重复试验中某事件恰好发生
k 次的概率
P
n
(k ) C
n
k
P
k
(1 P)
n k
.
97. 函数
y
f ( x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y
f ( x)
在
P( x
0
, f ( x
0
))
处的切线的斜
率
f ( x
0
)
,相应的切线方程是
y
y
0
f
( x
0
)( x x
0
)
.
98.
导数与函数的单调性的关系
0
与
f (x)
为增函数的关
㈠
f
(x)
系。
f (x)
0
能推 出
f ( x)
为 增 函 数 , 但反 之不 一 定
。
如函 数
f ( x)
x
3
在
( ,
)
上单调递增,但
f (x)
0
,∴
f ( x) 0
是
f ( x)
为增函数的充分
不必要条件。
0
与
f (x)
为增函数的关
㈡
f
(x)
系。
f ( x)
为增函数, 一定可以推出
f
( x)
0
,但反之不一定, 因为
f
( x)
0
,即
为
f ( x) 0
或
f (x) 0
。当函数在某个区间内恒有
f ( x) 0
,则
f (x)
为
常数,函数不具有单调性。∴
f ( x)
0
是
f ( x)
为增函数的必要不充分条件。
99.
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型:
①
f (x
1
x
2
) f (x
1
)
f ( x
2
)
正比例函数
f ( x)
kx( k
0)
②
f (x
1
x
2
)
f ( x
1
) f ( x
2
)
;
f ( x
1
x
2
) f ( x
1
)
f ( x
2
) f (x) a
x
③
f (x
1
x
2
)
f ( x
1
)
f ( x
2
)
;
f (
x
1
) f ( x
)f (x) log
1
)
f ( x
2a
x
;
x
2
1
100.n
个数据
x
(x
1
, x
2
, x
3
x
n
,
则它们的平均数为
x
1
x
2
x
3
x
n
)
,
n
方差
s
2
=
1
(x
3
x)
2
(x
n
x)
2
]
n
[( x
1
x)
2
( x
2
x)
2
( 1)总体:在统计中 ,所有考查对象的全体叫做全体 .
(2) 个体:在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体.
(3) 样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本.
(4) 样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量 .
二、抽样方法:
( 1)简单随机抽样:设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽
取一个样本 , 且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等
,就称这样的抽样为简单的随
机抽样 ,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.
(2)分层抽样:当已知总体是由有差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部
分,然后按各部分所占的比例进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的各
部分叫做层 .
三、两种抽样方法的区别与联系:
类别
简单随
机抽样
共同点
抽取过程中
每个个体被
抽取的概率
相等
各自特点
从总体中逐
个抽取
相互联系
适用范围
总体中个体
数较少
分层
抽样
将总体分成 各层抽样可采 总体有差异
几层进行抽 用简单随机抽 明显的几部
取
四、重要结论 :
样或系统抽样
分组成
个体数 N 的总体中抽取一个样本容量为
n 的样本,那么在整个抽样过程中每
n
个个体被抽到的概率都相等,且等于
.
N
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