期末贷方余额公式巧解渐近线方程

2020年10月17日发(作者：柏盟鸥)
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巧解渐近线方程

作者：黄耿跃

来源：《理科考试研究·高中》2014年第01期

题目 对于具 有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为
常数），对任给 的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有0
01}的四组函数如下：
①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10- x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）
=x·lnx+1lnx；④f（ x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.
其中，曲线y=f（x）与y=g（x）存在“分渐近线”的是（ ）.
A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④
本题是福建省2010高考理科第10题，要求考 生先读懂“分渐近线”的定义，然后类比所学
过的双曲线渐近线的定义，通过画草图，结合极限的知识进 行问题求解.很多教辅资料在解答
这题时，一般都是采用数形结合的思想方法，再结合排除法，进而选出 正确答案为C.华罗庚
讲过：数缺形时少直观，形缺数时难入微.单纯地利用作图法求解，总让人感觉说 服力不够，
无法揭示问题的本质.而如果能用代数法把第②④组函数的“分渐近线”求出来，那就使问题 的解
决显得有理有据.带着这个问题，笔者通过查阅高等数学中极限的知识，得到了一种代数解
法，现把它整理出来，供同行参考.图1
一、渐近线的定义
在平面直角坐标系中，设曲线C∶y=f（x），点P是曲线C上的一动点，沿着曲线C趋向
无穷远时， 点P和直线l∶y=kx+b的距离越来越短，直至趋向于0，则称直线l∶y=kx+b为曲线
C的一 条渐近线.
二、渐近线定义的形式语言
当x→+∞（或-∞）时，f（x）-（kx+b）→0.
三、渐近线方程中k，b的求法
解 设M（x，y）为曲线C∶y=f（x）上一点 ，则点M到直线l的距离d=|kx+b-f（x）|1+k2.
因为直线l∶y=kx+b为曲线C∶ y=f（x）的渐近线，所以x→∞（+∞或-∞）时，d→0的充要条
件是limx→∞|kx+b- f（x）|1+k2=0.因为limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f （x））