资产负债比率计算公式双曲线渐近线方程

2020年10月17日发(作者：霍适)
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双曲线渐近线方程
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双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实 际中建筑物在建筑
的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。分为
铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。是一种根据实际的生活需求研究出的一种
算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近
线和斜渐近线。
当 曲线上一点
M
沿曲线无限远离原点时，如果
M
到一条直线的距离无
限 趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲
线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、
斜渐近线。
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y=kx(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐
近线方程
当焦点在x轴上时 双曲线渐近线的方程是y=[+(-)ba]x
当焦点在y轴上时 双曲线渐近线的方程是y=[+(-)ab]x
双曲线的简单几何性质
1.双曲线 x^2a^2-y^2b^2 ＝1的简单几何性质
(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.
(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点
中心对称.
( 3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为
2a，虚轴长为 2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.
(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±bax，或令双曲线标准方程
x^2a^2-y^2b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.
(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.
(6)等轴双曲线(等边双曲 线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝
±bax,离心率e＝ca=√2 (7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的
双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.
注重：
1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0且λ
为待定常数)
2.与椭圆 ＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,
其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)
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2.双曲线的第二定义
平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2c 的距离之比等于
常数e＝ca (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝ ，与椭圆相同.
3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右
支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;
P在左支上时，则 ｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.
本节学习要求：
学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质
一样去研究双曲线的标 准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的
两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线
与双曲线的交点问题、 弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达
定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函 数中的相关知识，是
高考的主要内容.
通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和 科学态度，培养
同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.


双曲线的渐近线教案
教学目的
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(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双
曲线的图形．
(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初
步的应用，从而提高 分析问题和解决问题的能力．
教学过程
一、揭示课题
师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？
生(众)：能画出来．
师：能画得比较精确点吗？
(学生默然．)


其附近的点，比 较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在
画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线

我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远
处时，它逐渐地越
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的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴， 即
x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够
清楚的．所以双曲线 和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如
何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一 下“双曲线向何
处去”这样一个问题．
(板书课题：双曲线的渐近线．)

二、讲述定义
师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一
下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？

直线x＝－a和x＝a的外 侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一
点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．
设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则

考察一下y变化的范围：
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因为x
2
－a
2
＜x
2
，所以


这个不等式意味着什么？
(稍停，学生思考．)

平面区域．


之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．

为此，我们考虑下列问题：

经过A
2
、A
1
作y轴 的平行线x＝±a，经过B
2
、B
1
作x轴的平行线
y＝±b，

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以看出，双曲线

的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．
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下面，我们来证明这个事实．
双曲线在第一象限内的方程可写成

设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线

上与M有相同横坐标的点，则



设|MQ|是点M到直线









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的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无
限增大，|MN|接近于零 ，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限
的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．
在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线

叫做双曲线的渐近线．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实
轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母
对调所得到，自然，前者






这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较
精确地画出双
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手画出比较精确的双曲线．
[提出问题，解决问题，善始善终．]
三、初步练习
(根据由双曲线求出它的渐近线方 程与由渐近线求出相应的双曲线
方程这两要求，出四个小题让学生练习．)
1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双
曲线：
(1) 4x
2
－y
2
＝4； (2) 4x
2
－y
2
＝－4．
2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：

求双曲线方程并画出双曲线．
(练习毕，由学生回答，教师总结．)
解题的主要步骤：
第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定
义写出渐近线方程．
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第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程 ；(2)写出渐近线
方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得
到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出
双曲线方程．
师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线
求渐近线，比较简单；一个是由渐近线 求双曲线，却比较复杂．这是因
为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度． 同
时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双
曲线，因此，求双曲线 方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显
然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解 决逆向问题的
能力．
[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、
逆两方面思考问题的训练．]
四、建立法则
师：仔细分析一下上述练习的结果：
双曲线方程：4x
2
－y
2
＝4；渐近线方程：2x±y＝0．
双曲线方程：4x
2
－y
2
＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．
双曲线方程：x
2
－4y
2
＝4；渐近线方程：x±2y＝0．
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双曲线方程：x
2
－4y
2
＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．
可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．
(启发学生讨论、归纳．)
生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得
到渐近线方程．
生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号
连结起来等于零，就是渐近线方程．
生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，
与常数项无关．
生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，
常数可以不同．
生戊：应该说二次项系数成比例．
师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答， 还不够严格，也
不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到
渐近线方 程？
把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？

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点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．

就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是
特殊的双曲线．同样，
b
2
x
2
－a
2
y
2
＝0，
即 bx±ay＝0；


b
2
y
2
－a
2
x
2
＝0，
即 by±ax＝0．
所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有
一般性吗？也就是说对任意双曲线 < br>A
2
x
2
－B
2
y
2
＝C(C≠0 )
它的渐近线方程是不是A
2
x
2
－B
2
y
2
＝0？回答是肯定的．
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分情况证明一下：
C＞0，A
2
x
2
－B
2
y< br>2
＝C，



故渐近线方程为


也可以化成 Ax±By＝0，
即 A
2
x
2
－B
2
y
2
＝0．
其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为
Ax±By＝0
的双曲线方程 是什么？可以证明是：A
2
x
2
－B
2
y
2
＝C(C≠0)．C＞0，
实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：
(1)双曲线 A
2
x
2
－B
2
y
2
＝C(C≠0)的渐近线方程是
A
2
x
2
－B
2
y
2
＝0；
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(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是
A
2
x
2
－B
2
y
2
＝C
(C≠0的待定常数)．
现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？
生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为
x
2
－4y
2
＝C．


∴ 双曲线方程为x
2
－4y
2
＝4．


∴ 双曲线方程为x
2
－4y
2
＝－4．
[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]
五、巩固应用
师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定
义或者法则再做两个练习．
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2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．
(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)








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师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．
由双曲线求渐近线：

由渐近线求双曲线：

二是直接运用法则．


练习2的解法如下：

六、布置作业
课本练习；略．








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教案说明
(1)本课教材 内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突
然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法， 引出了渐近线．至于
课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认
为这 些做法都是比较自然的．
(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互
求的方法．
本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．
(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是 为了解题的方便，
建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．



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