1 3 7 15 31通项公式排列组合用A还是C的技巧

2020年10月17日发(作者：戴笃伯)

排列组合用A还是C的技巧.
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排
列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析， 同时还要
注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、 合理分类与准确分步法
(
利用计数原理
)
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程
分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有
A . 120 种 B. 96 种 C. 78 种 D . 72 种
1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，
(
)
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：
有P(4,4)=24种排法；2)若甲在第二，三，四位上，则有 C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54 种排
法，由分类计数原理，排法共有 78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。
例2、 4个不同小球放入编号为
多少种？
分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。 1)选：从四个球中选 2个有C(4,2)种，
从4个盒中选3个盒有C(4,3)种；2)排：把选出的2个球看作一个元素与其余 2球共3 个元 素，对
选出的3盒作全排列有P(3,3)种，故所求放法有C(4,2)*C(4,3)*P(3,3 )=144 种。
二、 特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再
考虑其它元素和位置。
例3、用0, 2, 3 , 4, 5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共
有()。
A . 24 个 B。30 个 C。40 个 D。60 个
0不能排首位，故0就
1 , 2 , 3 , 4的四个盒中，恰有一空盒的方法有
［分析］由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为
是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按 0排在末尾和0不排在末尾分两类：1) 0排末
个，由分数计 尾时，有P(4,2)=12个，2) 0不排在末尾时，则有 C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18
数原理，共有偶数 30个，选B。
例4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯
关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方
法共有多少种？
分析：表面上看关掉第 1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，
十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯
的排列，于是问题转化为“在
数为 C(4,3)=4 。
三、 插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已 排好的元
素之间及两端空隙中插入即可。
例5、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种
分析：先将其余四人排好有 P(4,4)种排法，再在这人之间及两端的 5个“空”中 选三个位
置让甲乙丙插入，则有 P(5,3)种方法，这样共有 P(4,4)*P(5,3)=1440 种不同排 法。


对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其 余元素
一同排列，然后在进行局部排列。
例6、 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？
分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余 4人共5个元作全排列，有
P(5,5)种排法，而甲乙、丙、之间又有
排法。
四、 排除法
对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能 多减，也
不能少减。
例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有
个，排好后发现0不能排首位，而且数字
C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30
C(4,1)P(4,2)=48
3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故有
P(3,3)种排法，故共有 P(5,5)*P(3,3)=720 种
个偶数。
五、 顺序固定问题用“除法”
(
对等法
)
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列， 然后用
总排列数除以这几个元素的全排列数。
例7、
种？
分析： 不考虑附加条件，排队方法有 P(6,6)种，而其中甲、乙、丙的 种排法中只有一
种符合条件。故符合条件的排法有
六、 构造模型“挡板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。
例& 方程a+b+c+d=12 有多少组正整数解？
分析：建立隔板模型：将 12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的 11个间
P(6,6)P(3,3)=120 种。
6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲 ---乙---丙”顺序排的排队方法有多少
隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得 4堆球的各堆球的数目，对应为 a、b、
c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有
例9、把10本相同的书发给编号为
C(11,3)=165 。
1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得
的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数？
解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的 7本书进行分配， 保证每个
阅览室至少得一本书，这相当于在
板共有C(6,2)=15种插法。
又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级，有多少种不同的分配方法？
过转化后都可用此法解。
七、 分排问题“直排法”
把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排 成一排的
方法来处理。
例9、7个人坐两排座位，第一排 3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
经
7本相同书之间的6个“空档”内插入2块隔
分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排来处理，
不同的坐法共有 P(7,7)=5040种。
八、 构造方程或不等式
例10 :某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得 3分；平一场得1分；负一场得
)
D.6种
0分。一球队打完15场积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平情况共有(
A.3种

B.4种 C.5种

解析：设该队胜 x场，平y场，则负
(
15-x-y)场，由题意得3x+y=33
y=33-3x ( 0
w
x
<
11 且 x+y
<
15 )
因此，有以下三种情况：
x=11,y=0 或 x=10,y=3 或 x=9,y=6 故选 A
例12、把一张20元面值的人民币换成 1元、2元或5元面值的人民币，有多少种 不同的换
法？
解：设对换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，5元的人民币z张， 则 x+2y+5z=20
当z = 0时，x+2y=20 , x 可以取0、2、4…20 ,有11种方法。
当z = 1时，x+2y=15 , x可以取1、3、5…15，有8种方法。
当z = 2时，x+2y=10 , x 可以取0、2、4…10,有6种方法。
当z = 3时，x+2y=5 , x可以取1、3、5有3种方法。
当 z = 4 时，x+2y=0 , x=0 , y=0,
故共有11+8+6+3+仁29 种方法。
九、枚举法：
有些计数问题由于条件过多，从排列或组合的角度思考不太方便，可以尝试用枚 举法，
枚举时也要按照一定的思路进行，才能做到不重不漏。
例11 :某寝室4名同学各写了一张新年贺卡，
张别人写的贺卡，问有多少种不同的取法？
解：设4位同学分别为A、B、C、D，各人取别人贺卡的不同取法可罗列成下表：
同学A
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
B
C
C
C
D
D
同学B 同学C
A
C
D
A
D
D
A
C

1 种方法。
先集中起来，然后每人从中取走一
同学D
D
D
A
D
A
B
B
A
B

C
A
C
B
B
A
C
B

9 D C
故共有 9种不 、同的取法。

A