简单的数学公式2018年高考数学二轮复习 考前回扣9 计数原理讲学案 理

2020年10月17日发(作者：姚虎成)
回扣 计数原理

．分类加法计数原理
完成一件事，可以有类办法，在第 一类办法中有种方法，在第二类办法中有种方法，…，在
第类办法中有种方法，那么完成这件事共有＝＋ ＋…＋种方法(也称加法原理)．
．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过个步骤，缺一不 可，做第一步有种方法，做第二步有种方法，…，做第
步有种方法，那么完成这件事共有＝××…×种方 法(也称乘法原理)．
．排列
()排列的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从个不同
元素中取出个元素的一个排列．
()排列数的定义：从个不 同元素中取出(≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素
中取出个元素的排列数，用表示．
()排列数公式：＝(－)(－)…(－＋)．
()全排列：个不同元素全部取出的一个排列 ，叫做个元素的一个全排列，
＝·(－)·(－)·…··＝！.排列数公式写成阶乘的形式为＝，这里 规定！＝.
．组合
()组合的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素合成一组，叫做从个 不同元素中取出个元素
的一个组合．
()组合数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的 所有不同组合的个数，叫做从个不同元
素中取出个元素的组合数，用表示．
()组合数的计算公式：＝＝＝，由于！＝，所以＝.
()组合数的性质：①＝；②＝＋.
．二项式定理
(＋)＝＋＋…＋＋…＋(∈)．
这个公式叫做二项式定理，右边的 多项式叫做(＋)的二项展开式，其中的系数(＝，…，)
叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通 项，用
＋
表示，即展开式的第＋项：
＋
＝.
．二项展开式形式上的特点
()项数为＋.
()各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
()字母按降幂排列，从第一项 开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，
－－
－－*
次数由零逐项 增直到.
()二项式的系数从，，一直到，.
．二项式系数的性质
()对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝.
()增减性与最大值：二 项式系数，当<时，二项式系数是递增的；当＞时，二项式系数是递
减的．
当是偶数时，那么 其展开式中间一项
当是奇数时，那么其展开式中间两项
()各二项式系数的和
(＋)的展开式的各个二项式系数的和等于，即＋＋＋…＋＋…＋＝.
二项展开式中，偶数项 的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即＋＋＋…＝＋＋
＋…＝.
－
的二项式系数最大．
和的二项式系数相等且最大．

．关于两个计数原理应用的注意事项
()分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的 不同方法的种数的问题，区别在于：
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其 中任何一种方法都可以
做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个 步骤都完
成了才算完成这件事．
()混合问题一般是先分类再分步．
()分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．
()要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
()以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
()以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
()先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
．排列、组合问题的求解方法与技巧
()特殊元素优先安排．()合理分类与准确分步．() 排列、组合混合问题先选后排．()相邻问
题捆绑处理．()不相邻问题插空处理．()定序问题排除法 处理．()分排问题直排处理．()
“小集团”排列问题先整体后局部．()构造模型．()正难则反， 等价条件．
．对于二项式定理应用时要注意
()区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．