输送桶公式圆的解析式 圆函数 在平面直角坐标系里画圆

2020年10月17日发(作者：仰孝升)
圆的解析式 圆函数 在平面直角坐标系里画圆
表述方式一：平面直角坐标系中，以点
(a,b)
为圆心且半径为
r
的圆，其解析
式为
表述方式二：平面直角坐标系中，关于
x
的两个函数
的图象组成以点

。
(a,b)
为圆心且半径为
r
的圆。
表述方式三：平面直角坐标系中有一以点
(a,b)
为圆心且半径为
r
的圆，则此
圆上任一点都满足关系式
。
表述方式四：平面直角坐标系中以点
(a,b)
为圆心且半径为
r
的圆，是满足
的所有点的集合。
推导简要过程 已知：平面直角坐标系
xOy
，定点
M(a,b)
。以点
M
为圆心、
r
为半径作圆，此圆上有一点
P(x,y)
。
过点
M
和点
P
分别作
x
轴和
y
轴的平行线

各种证矩形，线段长都可以用字母表示出来。更严谨的话，应该加绝对 值，不过
后面用的是勾股定理，都平方了，就无所谓了。由勾股定
理，
整理可得
，

将其视为关于
y
的一元二次方程，由一元二次方程求根公式可得
。
则满足 的点，一定满足
，即线段
PM
的长一定等于
r
，点一定在圆
M
上。
若将
量
x
的取值范围为
视为
y
是
x
的两个函数，则自变
。 进一步讨论 对于上面的函数
，不难发现，被开方数 可以利用完全平方公
式因式分解，即可化为：
有点眼熟——跟二次函数的顶点式有点儿像啊！
。看到这个玩意儿我觉得
先请看这个函数： 。特征为：根号下
x
二次项系数为-1，
，这个很后面加一个非负的常数。两边分别平方之后就可以得到
好理解，勾股定理嘛，图像画出来是一个以原点为圆心的圆。

那么，我们把这个函数 平移，向上平移
b
个单位，再向右
平移
a
个单位，按照传说中的杨凡艺大法之二，平移之后的解析式就是：
。嗯，实际上就 是平移圆心嘛，跟平移抛物线的时
候平移顶点类似。然后把被开方数展开，，
哇哈，这不就是任 意圆的解析式了嘛！观察一下这个函数，被开方数实际上是个
二次三项式，看来这玩意儿和二次函数还真 有不少联系。
我给它起了个名字：圆函数。圆函数的特征就是被开方数是二次三项式，即形
如 的函数。仿照二次函数的说法，这个
便是圆函数的一般式。二次函数还有顶点式，那么
这个
与
实际上是等价的，可以推知：如果把
就是圆函数的圆心式啦；由于
这 两个式子
的图像画在坐
标系中，肯定是一个圆，就可知这个圆的圆心为，半径为。
至于 圆和坐标轴的交点个数情况，与二次函数的判别式 Δ一样，