幂函数公式表椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标

2020年10月17日发(作者：江珊)
椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、
焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公
式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、双曲线、抛物线可以统一定
义为：与一个 定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数e的点
的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、
抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准
线的垂线，垂足为 K，以FK的反向延长
线为极轴建立极坐标系．
ep 椭圆、双曲线、抛物线统一

的极坐标方程为： . 1ecos
其中p是定点F到定直线的距离，p
＞0 ．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ
＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ
＜0 ，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛
物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦
点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的
右支、抛物线)上任一点，则 ∵PFe，
∴PFe(PFcosp)，其中pFH，
〈x轴，FP〉 ∴焦半径
PFep． 1ecos
ep. 1ecos当P在双曲线的左支
上时，PF
推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦
点F，则有
112. MFNFep
三、圆锥曲线的焦点弦长



cc1



若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，
epep2ab2a2b2
c1、椭圆中，p，MN222.
ecos1ecos()accos
2、双曲线中，
epep2ab2
若M、N在双曲线同一支上，MN；
1ecos1ecos()a2c2co
s2
epep2ab2
若M、N在双曲线不同支上，
MN.
1ecos1ecosc2cos2a2
3、抛物线中，MNpp2p.
21cos1cos()sin
四、直角坐标系中的焦半径公式
设P是圆锥曲线上的点，
1、若F1、F2分别是椭圆的左、右
焦点，则PF1aexPF2aex；
2、若F1、F2分别是双曲线的左、
右焦点，
当点P在双曲线右支上时，
PF1exa，PF2exa；
当点P在双曲线左支上时，
PF1aex，PF2aex；
3、若F是抛物线的焦点，PFx
p. 2坐标曲线题
题型研究
题型一 坐标曲线题
热点题型精讲
坐标曲线类试题一般结合数学中的
平 面直角坐标系考查，用横纵坐标代表
不同的化学量，主要与氧气的制取、金
属与酸和盐的反应、 酸碱盐之间的反应、
溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
类型一 溶解类
解读：一定温度下，向一定量A物
质的饱和溶液中加入A物质。A不再溶
解，溶质 质量分数不变。
解读：一定温度下，向一定量A物
质的接近饱和的溶液中加入A物质。A
溶解至饱和后不再溶解，溶解质量分数
先增大，后不变。
类型二 pH曲线
1.溶液稀释时pH的变化
解读：稀释碱性溶液时，开始时溶
液的pH﹥7，随着加水量的增加， pH
不断减小，但不会小于7。
解读：稀释酸性溶液时，开始时溶
液的pH﹤7，随着加水量的增加， pH
不断增大，但不会大于或等于7。
2.酸碱中和过程中pH变化
类型三 化学反应中的质量曲线
解读：随着反应的进行，反应物质
量不断减少，直至不变
解读：随着反应的进行，反应物质
量不断减少，直至为零
解读：若横坐标为加入物质质量，
A、B反应结束时，生成物质量达到
最大，继续加入B 物质，生成物质量仍
保持不变；若横坐标为反应时间，随着
反应的进行，生成物不断增大，当反 应
结束时，生成物质量达到最大，随着时
间增大生成物质量保持不变。
解读：同 一反应，催化剂只影响化
学反应速率，不影响生成物的质量。若
横坐标为反应时间，由图像的斜 率可以
看出加入催化剂后化学反应速率明显加
快，但生成物质量不变。
2.物质总质量曲线
解读：根据质量守恒定律，化学反
应前后物质总质量不变。
3.催化剂质量曲线
解读：化学反应前后，催化剂的质
量不变。
4.溶液质量曲线
解读：固体物质与溶液反应时，消
耗的固体物质比溶液中析出固体物质 的
质量大时，随着反应的进行，溶液质量
增大，反应结束后，溶液质量不再改变。
解读：固体物质与溶液反应时，消
耗的固体质量比溶液中析出固体物质的
质量小时，随着反应的 进行，溶液质量
减小，反应结束后，溶液质量不再改变。
5.固体质量曲线
解读：反应物为固体，生成物为固
体或非固体时，固体质量随反应的进行
先减小，后不变，如高 温煅烧石灰石、
加热高锰酸钾制取氧气。
6.气体质量曲线
解读：一般情 况下，金属和混合盐
溶液反应时，较活泼的金属优先与最不
活泼的金属反应；酸与碱的反应也优 于
酸与盐的反应，据此可判断出产生的气
体的时机，进而根据生成物质量曲线进
行判断 。
其他类
1.电解水气体质量曲线
解读：电解水时产生氢气的体积是
氧气的2倍。
2.加热高锰酸钾制取氧气时固体中
锰元素的质量分数曲线
解读：高锰酸钾加热分解生成 氧气
和锰酸钾，反应后固体质量减少，锰元
素质量不变，所以锰元素的质量分数先
变小 ，待反应结束后保持不变。
例下列四个图像能正确反映对应的
实验操作的
是
A.向一定量的饱和石灰水中不断加
入生石灰
B. 向等质量的锌、铁中滴加等质量
分数的稀盐酸
C. 向一定量的氧化铁中通入一氧
化碳气体并持续高温
D. 向一定量的氢氧化钠和氯化钡
的混合溶液中滴加稀硫酸
【解析】生石灰是氧化钙的俗称，
氧化钙与水反应生成氢氧化钙，消耗了
溶剂，则溶质会析出，A错误；等质量
锌、铁与 等质量分数的稀盐酸反应，产
生氢气的质量铁大于锌，横坐标为稀盐
酸，质量相等的酸提供的氢 元素质量相
等，则产生的氢气质量相等，因此斜率
相同，B正确；三氧化二铁与CO在高
温的条件下反应生成铁和二氧化碳，固
体质量不可能为0，C错误；稀硫酸加入
后立即产生硫 酸钡沉淀，所以应从0点
开始，D错误。
【方法指导】解答此类试题要做到
“四看”：
一看横纵坐标代表的含义；
二看曲线的起点、拐点、交点和终
点，如一氧化碳还原氧化铁完全反应后
产物为铁，固体质量不 可能为零。
三看曲线的斜率；
四看特征；
再结合其他相关知识解答。
热点题型精练
1.向甲物质中逐渐加入乙物质至过量。若x轴表示加入乙物质的质量，则
下列选项与图不相符合的是
【解析】
2.(2016 连云港) 下列图像不能正
确反映其对应变化关系的是
A.用等质量、等浓度的过氧化氢溶
液在有无催化剂条件下制氧气
B.一定质量的红磷在密闭容器中燃
烧
C.向等质量、等浓度的稀硫酸中分
别逐渐加入锌粉和铁粉
D.向一定质量的氯化铜和稀盐酸的
混合溶液中逐滴加入氢氧化钠溶液
【解析】催化剂改 变的是反应速率，
不改变产物的质量，A正确；根据质量
守恒定律，反应前后物质总质量相等， B
正确；C图横坐标为金属质量，当加入
等量的金属时，相对原子质量小的产生
氢气多 ，铁产生氢气比锌多，当酸反应
完后，产生氢气的质量将不再增加，图
中锌与铁的曲线弄反了， C错误；酸碱
盐之间发生反应时，氢氧化钠溶液先与
稀盐酸发生中和反应，将盐酸反应完后再与氯化铜反应生成氢氧化铜沉淀，D
正确。
3. 请按要求完成下列金属性质的实
验：
研究一：金属与酸反应过程中的能
量变化。
打磨后的镁条与稀盐酸反应，
试管外壁发烫，说明该反应
_______， 反应的化学方程式为
______________________。
实验测得反应中产生气体的速度与
时间 的关系如图，请根据t1~t2时间段
反应速率变化， 说明化学反应速率受
________等因素影响。
研究二：金属与盐溶液反应过程中
的相关变化。
某同学用硫酸铜溶液把“铁勺”变
“铜勺”，其反应的化学方程式为
_______________________。
在一定量的AgNO3和Cu2的混合
溶液中加入铁粉，充分反应后，下图描
述相关变化曲线， 一定不正确的是___。
【解析】
研究一：打磨后的镁条与稀盐酸反
应，试管外壁发
烫，说明该反应放热，镁与盐酸反
应会生成氢气和氯化镁，化学方程式
Mg+2HCl MgCl2+H2↑
为： 。通过图中的反应速率可以看出，
在t1～t2时间段速率加快， 所以化学反
应速率受温度等因素影响；
研究二：铁和硫酸铜反应生成硫酸
亚铁和铜，化学方程式为： Fe+CuSO4
FeSO4+Cu
(2)由金属活动性顺序可知，铁会先
与硝酸银反应生成硝酸 亚铁和银，然后
再与硝酸铜反应生成硝酸亚铁和铜。刚
开始铜的质量为零，置换完银才会置换< br>出铜，A正确；硝酸铜的质量分数最后
会减小到零，
B
错误；铁和 硝酸银反应生成硝酸亚
铁和银，每56份质量的铁会置换出216
份质量的银，溶液质量减轻， 铁和硝酸
铜反应生成硝酸亚铁和铜，每56份质量
的铁会置换出64份质量的铜，溶液质量也会减轻，但是没有前面减小的幅度大，
C正确；铁刚与硝酸银反应生成硝酸亚
铁和银，溶 液中会出现银离子、亚铁离
子、铜离子三种离子，然后会出现亚铁
离子和铜离子，最后只剩下亚 铁离子，D
正确。极坐标曲线
极坐标
极坐标系
polar coordinate system
极坐标曲线
Circle）a










圆
圆
圆
圆
2acos
2asin
2acos
2asin
五个圆
a
2acos
2asin
2acos
2asin
心形线
a(1cos
心形线
a(1sin
阿基米德螺线
spiral)
等速螺线
a
(Archimedes’
阿基米德螺线
spiral)
)
)



















































































等速螺线
a
(Archimedes’
对数螺线
(Logarithmic spiral)
等角螺线
ea
抛物螺线费马螺线
2a
瑰
玫线
三叶玫瑰线
Three-leaved rose
curve
asin3
三叶玫瑰线Three-leaved rose curve
acos3
四叶玫瑰线Four-leaved rose
curve
asin2
四叶玫瑰线Four-leaved rose
curve












































acos2
五叶玫瑰线Five-leaved rose
curve
asin5
五叶玫瑰线Five-leaved rose
curve
acos5
八叶玫瑰线Eight-leaved rose curve
asin4
八叶玫瑰线Eight-leaved rose
curve
acos4
九叶玫瑰线Nine-leaved rose
curve
asin9
十二叶玫瑰线Twelve-leaved
rose curve
asin6
十六叶玫瑰线Sixteen-leaved
rose curve
asin8
二十叶玫瑰线Twenty-leaved
rose curve
asin10
cosn
n1
n5
n9n13n2
n6n10n14n
n7n11n15n
n8
n12
n16
sin(030

sin
蚶线
(Limacon)
1csinc)
(
双纽线
贝努利双纽线
2acos222
sin
3
4
)












































20)
(0
sin
15
)
(15测设圆曲线上曲线坐标点计算
新方法
【摘要】介绍公路、铁路定
位，矿山井巷测量过程中，采用可编程
的CASIO―4800P计算器计算圆曲线上
点坐标， 该法计算简单，操作便利。

【关键词】工程测量；圆曲线；坐
标计算
引言
在公路、铁路定位，矿山井巷测量
过程中，测设圆曲线常用方法有偏 角法、
切线支距法等。这些方法在圆曲线测设
中有一定的局限性。如果利用圆曲线设
计 的曲线要素点坐标，再利用可编程序
的CASIO―4800P计算器计算出圆曲线
各个施测点 的平面直角坐标，利用线路
附近的控制点进行园曲线的放样定位。
采用这种方法测量计算简单、 操作便利，
即使施测线路附近有障碍物，只要加测
几个控制点，施测线路问题就可以快速
解决。
1、计算原理及程序编制
计算原理
如图1所示，圆 曲线半径R，两切
线方位角a1、a2及偏角a均能从设计资
料中查出，曲线要素公式计算：
弧长l所对圆心角γ、弦切角β、弦
长S的计算公式
S=2RSinβ
―fx4800P计算器程序编制程序：
A：B：R：C
YQX―圆曲线上各点坐标计算程序
U=C：Prog “H”：
C=U：Lbi7：{L}：L：D=90L÷R÷π：
K=C+D：S=2RsinD
X=A+S×cosK
Y=B+S×sinK
Goto7
A―圆曲线ZY点的X坐标
B―圆曲线ZY点的Y坐标
R―圆曲线的半径
C―切线ZY―JD的方位角
l―圆曲线的弧长
S―圆曲线的弧长所对应的弦长
当偏角a为左偏时，程序中计算方
位角K应为K=C-D。
子程序
H―60进制化为10进制
U=IntU+Int60+ Frac36
2、程序应用算例
如图2所示，已知a1=45°20′12″，
a2=97°40′ 16″，R=400m，偏角a为右偏
52°20′04″。ZY坐标X=、Y=，JD桩号
D h为0+，经计算ZY的桩号0+，YZ的
桩号0+。T=，L=
3、结论
到此，曲线点上所有平面直角坐标
计算结束。经验算，此程序计算坐标成
果正确。 经生产实践应用给测量放样圆
曲线带来很大便利。
作者简介
董宏军，男，工程师，供职于通钢
板石矿业公司。 缓和曲线坐标计算
二、公式推导 1 、实例数据
河北省沿海高速公路一缓和曲线：
AB 段为缓和曲线段， A 为 ZH 点， B
为 HY 点， RB=800m ； A 点里程为
NK0+080 ，切线方位角为 θA=100 °
00 ′ ″，坐标为
XA=,YA= ； B 点里程为 NK0+ ，
切线方位角为 θB=102 ° 48 ′ ″，坐标为
XB= ， YB= ，推求此曲线段内任意点
坐标。 2 、公式推导及实例计算 方
法一：弦线偏角法 1 ）公式推导
由坐标增量的计算方法我们不难理
解， 求一点坐标可以根据其所在直线的
方位角以及直线上另一点的坐标和距待
求点的距离。所以我们 可以利用 ZH
点，只要知道待求点距 ZH 点的距离和
此弦与 ZH 点切线方位角的夹角，即可
求出该点坐标。 根据回旋线方程
C=RL ，用 B 点数据推导出回旋线参
数： C=RLS=800*=62500 设待求点
距 ZH 点距离为 L
因回旋线上任意点的偏角
β0=L22RLS, 且转角 a=β03 ， 可得
该点转角 a 。。 根据缓和曲线上的弧
弦关系 S=L-L590R2LS2 ， 可以求出
待求点至 ZH 点的弦长。
然后我们利用坐标增量计算公式可
以推导出缓和曲线任意点坐标计算公
式：
X=XA+S*cos =+ *cos
Y=YA+S*sin =+ * sin
式中 θA=100 ° 0 ′ ″ 2 ）实例计
算
现在我们利用此公式计算桩号为
NK0+140 的坐标 第一步，求出
L=140-80=60 米
第二步，求出 a=180L26 π RLS=0 °
33 ′ ″
第三步，求出
S=L-L590R2LS2=60-605 = 第四步：
将 a ， S 值代入缓和曲线计算公式，
可求出桩号为 NK0+160 点的坐标为：
X= ， Y= 。 同理，我们可求出
其它桩号的坐标。 方法二：坐标转换
法 1 ）公式推导
首先我们建立坐标系，以 ZH 点为
坐标原点，其切线方向为 X 轴，过该点
的半径方向为 Y 轴。根据缓和曲线参数
方程： x=L-L540R2LS2 ；
y=L36RLS
计算出曲线上各点在此坐标系下的
坐标。 然后利用坐标转换公式
X=XA+xcosa-ysina Y=YA+xsina+ycosa
将 (x,y) 代入该式，即可求出缓和
曲线上各点的坐标计算公式： X=+
cosθA - sinθA ； Y=+ sinθA +
cosθA 。 式中 θA=100 ° 0 ′ ″ 2 ）
实例计算
现利用此公式计算桩号为
NK0+140 的坐标。 第一步：求出
L=140-80=60 米
第二步：求出该点在新坐标系下的
坐标 x= ； y= 。 第三步：将 L 、 x 、
y 的值代入公式可得 NK0+140 的坐标
为： X= ， Y= 。 同理可计算出曲
线上其他对应桩号的坐标：
NK0+100 ： X= ； Y= 。
NK0+120 ： X= ； Y= 。也谈在极坐
标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统
一
摘 要：椭圆、 双曲线和抛物
线方程一直是高考的热点，本文就如何
在极坐标系中使椭圆、双曲线、抛物线方程达到统一，提出自己的观点.

关键词：极坐标；椭圆；双曲线；
抛物线方程；统一
《数学教学通讯》2016年4期 发表
的郭新祝老师的论文《在极坐标系中椭
圆、双曲线、抛物线方程的统一》中探
究的 教材中，给出的圆锥曲线极坐标方
程仅仅是极点建立在椭圆的左焦点情况
下的方程，而对于另外 三种形态，即极
点分别建立在椭圆的右、上、下焦点的
情况，则没有探究，下面笔者就带领大< br>家一起去进一步探讨挖掘！
如图1，当极点建立在椭圆的右焦点
时，
ρ=■
当0 当e=1时，方程表示开口向
左的抛物线，定点F是该抛 物线的焦点，
定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■，
抛物线焦点极坐标为，顶点极坐标为 ■，
0；抛物线准线方程为ρcosθ=p.
当e>1时，方程表示双曲线，定点F
是该双曲线的左焦点，定直线l是该双曲
线的左准线. 与方程情形相同，对于双曲
线中的a，b，c结果也不变，即a=■，b=■，
c=■，即双曲 线的实轴长为■，虚轴长为
■，焦距为■，此时，双曲线中心极坐标
为■，0；双曲线的左焦点 极坐标为，右
焦点极坐标为■，0；双曲线的左顶点极
坐标为■，0，双曲线右顶点极坐标为■ ，
0；双曲线的左准线方程为ρcosθ=p，右
准线方程为ρcosθ=■；
综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1
即方程不表示抛物线时，
有结论a=■，c=■，b=■；
？摇？摇？摇椭圆或双曲线的中心
极坐标为■，0；
？摇？摇？摇椭圆的左焦点极坐标
为■，0，椭圆的右焦点极坐标为；
椭圆的左顶点极坐标为■，0，椭圆
的右顶点极坐标为■，0；
椭圆的左准线方程为ρcosθ=■，椭圆
的右准线方程为ρcosθ=p.
如图2，当极点建立在椭圆的上焦点
时，如图3，
ρ=■
■
图2
当0 当e=1时，方程表示开口向
下的抛物线，定点F是该抛物 线的焦点，
定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■，
抛物线焦点极坐标为，顶点极坐标为■ ，
■；
抛物线准线方程为ρsinθ=p.
当e>1时，方程表示双 曲线，定点F
是该双曲线的下焦点，定直线l是该双曲
线的下准线，此时，a=■，b=■，c =■；
双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距
为■；此时，双曲线中心极坐标为■，■；双曲线的上焦点极坐标为■，■，下焦点
极坐标为；双曲线的上顶点极坐标为■，
■，双曲 线下顶点极坐标为■，■；双曲
线的上准线方程为ρsinθ=■，下准线方程
为ρsinθ= p；
综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1
即方程不表示抛物线时，
有结论a=■，c=■，b=■；
？摇？摇？摇椭圆或双曲线的中心
极坐标为■，■；
椭圆的上焦点极坐标为，椭圆的下
焦点极坐标为■，■；
椭圆的上顶点极坐标为■，■，椭圆
的下顶点极坐标为■，■；
椭圆的上准线方程为ρsinθ=p，椭圆
的下准线方程为ρsinθ=■.
如图3，当极点建立在椭圆的下焦点
时，？摇
ρ=■
当0 当e= 1时，方程表示开口向
上的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，
定直线l是该抛物线的准线；此 时，ρ=■；
抛物线焦点极坐标为，顶点极坐标
为■，■；抛物线准线方程为ρsinθ=-p.
当e>1时，方程表示双曲线，定点F
是该双曲线的上焦点，定直线l是该双曲
线的上准线. 此时，a=■，b=■，c=■，双
曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为
■，此时，双曲线 中心极坐标为■，■或■，
■，双曲线的上焦点极坐标为，下焦点极
坐标为■，■或■，■，双 曲线的上顶点极
坐标为■，■，双曲线下顶点极坐标为■，
■或■，■；双曲线的上准线方程为
ρsinθ=-p，下准线方程为ρsinθ=■；
综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1
即方程不表示抛物线时，
有结论a=■，c=■，b=■；
椭圆或双曲线的中心极坐标为■，■；
椭圆的上焦点极坐标为■，■，椭圆
的下焦点极坐标为；
椭圆的上顶点极坐标为■，■，椭圆
的下顶点极坐标为■，■；
椭圆的上准线方程为ρsinθ=■，椭圆
的下准线方程为ρsinθ=-p.