向前欧拉公式物理压轴题

2020年10月17日发(作者：萧民)




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物理压轴题
：NOCG- YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT


1．归纳法解题：题 目中出现与次数、个数等有关的问题，常考虑用归
纳法解，压轴大题有时会出现用归纳法解的题目，例如 2007年第19题（16
分）
如图1所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高 H，上端套着
一个细环。棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg
（k >1）。断开轻绳，棒和环自由下落。假设棒足够长，与地面发生碰撞
时，触地时间极短，无动能损失。 棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气
阻力不计。求：
（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度；
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程S；
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功。

解：（1）设棒第一次上升过程中，环的加速度为
环受合力
由牛顿第二定律?
????①
??②

由①、②得 ，方向竖直向上。
（2）以地面为零势能面，向上为正方向，棒第一次落地的速度大小为

由机械能守恒
解得：




设棒弹起后的加速度为
由牛顿第二定律?
棒第一次弹起的最大高度
解得
棒运动的路程




（3）棒第一次弹起经过时间，与环达到相同速度
环的速度?
棒的速度?
环的位移?
棒的位移?
相对位移??
解得??
棒环一起下落至地







解得??
同理，环第二次相对棒的位移

?? =

=
环相对棒的总位移




得??
解题策略：在解题的过程中，同学要自己独立地探究环与棒的相对位移
的规律， 这就是归纳法解题。例如本例中用牛顿定律和运动学公式，根据物
理规律写出方程式，求解出第1个物理 过程的解，本例中的
2、3个物理过程的结果（如、），找出其中的规律性（
，然后根据第，
等），列出递推公式（如等），最后根据递推公式求解未
知量，如
2．微 元法解题：题目中出现微小变量，常考虑用微元法解题，微元法
解题，体现了微分和积分的思想，江苏连 续两年出现用微元法解的压轴大
题，例如2006年第19题


如图 2所示，顶角=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向
竖直向上、磁感应强度为B的匀 强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平
外力作用下以恒定速度v
0
沿导轨MON向 右滑动，导体棒的质量为m，导轨与
导体棒单位长度的电阻均为r．导体棒与导轨接触点的为a和b，导 体棒在
滑动过程中始终保持与导轨良好接触，t=0时，导体棒位于顶角O处，求：





x。
图2
（1）t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向。
（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式。
（3）导体棒在O～t时间内产生的焦耳热Q。
（4）若在t
0
时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标
，
，
，
，
，
解：（1）0到时间内，导体棒的位移?
时刻，导体棒的有效长度????????
导体棒的感应电动势????????????
回路总电阻????????????????????
电流强度为????????????????????
电流方向
（2）
。
。
= （3）时刻导体棒的电功率?? ，
。
（4）撤去外力后，设任意时刻导体棒的坐标为，速度为，取很短
时间

得

或很短距离，在
=
=
，由动能定理得
（忽略高阶小量） ①
???????????? ②


扫过的面积：
⑤）??
???????????????????? ③
=?? ④? （??
得。???? ⑥

图3
或??? 设滑行距离为，
则???
即???
解之??
? 得??
?????⑦
??????⑧
???（负值已舍去）? ⑨
????????⑩
=???? （11）
解题策略：一份好的试卷，都 有原创题，都有创新之处，或者物理情景
创新，或者解题方法创新。本题的创新之处在于用“微元法”解 题。微元法解
题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力，有利于高
校选拔 人才。这是全卷最难的题目之一，是把优秀学生与最优秀学生区分的
题目。这样的题目，老师是讲不到的 。微元法，虽然老师讲了方法，讲了例
题，也做了练习，但考试还要靠考生独立思考、独立解题。这样的 题是好
题。本题以电磁感应为题材，以“微元法”为解题的基本方法，可以用动量定


理或动能定理解题。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，
但对于使用课程标准 教科书的地区就不同了，因为他们的教科书把动量的内
容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能 用动量定理解，只能用动能定
理解。本文就避免了动量的内容而用动能定理解。
关于微元 法。在时间很短或位移很小时，变速运动可以看作匀速
，。微元法体现运动，梯形可以看作矩形，所以有
了微分思想。
关于求和。许多小的梯形（图中画下斜线的小梯形）加起来为大的
，（注梯形（图4中画上斜线（包括下斜线）的大梯形），即
意：前面的为小写，后面的为大写）。②到 ③的过程也用了微元法和求
和法，即微分思想和积分思想。
关于“电磁感应”的题目，历 来是高考的重点和难点。因为要用少量的题
目、很短的时间考你多年学的知识，题目就要有综合性，也就 是一道题考到
多个知识点和多种方法和能力。而电磁感应问题就在综合上有很大的空间，
它既可 以与电路联系实现电磁学内的综合，又可以与力与运动联系实现电磁
学与力学的综合。在方法与能力上， 它除了要用到电磁感应定律和全电路欧
姆定律外，还可以用到牛顿运动定律、动量守恒定律和能量守恒定 律。
3．综合题的解题理论：板块结构论。所谓物理综合题，或涉及的研究
对象（物体） 较多，或经历的物理过程复杂，或应用的物理规律较多。解答
这样的问题，我们采用化繁为简、化整为零 的分解方法去分析处理。把一个
复杂的问题分解成若干个简单的问题，不妨称之为“板块”结构。如果研 究的
问题涉及到的对象（物体）较多，我们逐一研究，每个物体可以看作一个
“板块”；如果一 个问题涉及到的物理过程较复杂，我们把一个过程称之为一
个“板块”；如果涉及较多的物理规律，我们 把每个规律亦称之为一个“板
块”。
例：电磁感应题：2007年第18题（16分）
如图4所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁
场区域足够长，磁感 应强度B＝1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁
场区域的间距均为d=0．5m，现有一边长l =0．2m、质量m=0．1kg、电阻Ｒ
＝0．1Ω的正方形线框MNOP以v
0
= 7ms的初速从左侧磁场边缘水平进入磁
场，求

图4
（1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F。


（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q。
（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。
解：（1）线框MN边刚进入磁场时，感应电动势
电流，受到安培力的大小Ｆ=。
，感应
（2）水平方向速度为0，。
（3）线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，感应电动势
，感应电流
在
，受到安培力的大小Ｆ=，得，
距离内，由动能定理，
，因为
，所以上式 变为
很短，可以看作
，约去，求和

解得
，得
，线框能穿过的完整条形磁场区域的个数
n=，取整数为4。
解题 策略：对于综合题，除了认真研究各个物体的各个过程中的各种物
理规律外，还应注意它们之间的联系， 即衔接条件。如多个物体系统，各个
物体都不是孤立的，往往都是通过相互作用（或比较等其它关系）而 取得联
系。复杂过程的各个过程之间也有联系，往往第一个过程的终了状态也就是
第二个过程的 初始状态。找到了衔接条件，可以减少未知量，增加已知量，
或者增加解题方程的个数从而便于求解。
4．物理情景解题法：对物理综合题，我总结一个叫所谓“物理情景解题
法”的解题方法。 解一些比较复杂的物理题目，常用物理情景分析法。所谓
物理情景，包括物理状态和物理过程。所谓物理 状态，力学中是指位移、速
度、加速度、动能、势能、动量等；所谓物理过程，是指匀速运动、匀加速< br>运动、动量守恒、机械能守恒、匀速圆周运动、平抛运动等等。状态的变化
即为过程，只有分析清 楚这些状态和过程，才能正确地列出公式求解，否则
乱代公式或乱套公式，必然事倍功半。
分析物理情景的方法是示意图法。用示意图表示物体的物理状态或物理
过程，具有直观、形象的优点，可 以把抽象思维转化为形象思维，使复杂的
题目化难为易。有时候可以用图象法，图象可以把两个物理量的 变化规律表
达得很清楚、直观，例如运动学中的图，图，振动的图象，波
的图象，电学中的图象 ，交流电的图象，图象等。
例：带电粒子在电磁场中的运动题：2005年第17题（16分）


如图5所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S
1、S
2
为板上
正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强 度大小
均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取
屏上与S1
、S
2
共线的O点为原点，向上为正方向建立
x
轴．M板左侧 电子枪
发射出的热电子经小孔S
1
进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速< br>度可以忽略。
（1）当两板间电势差为U
0
时，求从小孔S
2< br>射出的电子的速度
v
0
。
（2）求两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而
打到荧光屏上。
（3）若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定
性地画出电子运动的轨迹。
（4）求电子打到荧光屏上的位置坐标
x
和金属板间电势差U的函数关
系。

图5
解析：（1）根据动能定理，得 由此可解得


（2）欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上，应有
而由此即可解得
（3）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图6所示。

图6
（ 4）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为，穿过磁场区域打
到荧光屏上的位置坐标为，则由（3） 中的轨迹图可得注


意到和
所以，电子打到荧光屏上的位置坐标x
和金属板间电势差
U
的函数关系
为
?? （）
解题策略：带电粒子在电场中的运动， 主要有两种，一是在电场中加
速（或减速），常用 动能定理解，不论匀强电场还是非匀强电场都适用。二
是在电场中做类平抛运动，用运动的分解方法结合 牛顿运动定律和运动学公
式解，只适用于匀强电场。
解带电粒子在磁场中的运动的题目， 关键是要掌握物理上的洛仑兹力等
于向心力求圆周运动的半径，以及运动时间与周期的关系，即时间与周 期之
比等于圆心角与360度之比。在解题过程中，作图和找出几何关系是难点。
总结：
1．所谓压轴大题，一般指高考的最后两题，都是综合性较高的题目，
他们的选材，多是力 学综合题或电磁学综合题，电磁学综合题又多是带电粒
子在电磁场中的运动或电磁感应。
2．在高考的复习中，要特别关注综合题，对综合题：
第一，不畏难，要去做，独立地做，不要等老师讲过再做；
第二，要反思，要总结，做过以后，不 要一对答案了之，要反思解题过
程，要总结解题方法，如归纳法、微元法、图象法、临界法、物理情景解 题
法等；
第三，要学习解题规律，如综合题的板块结构，用数学处理物理问题
等；
第四，要纠错，建议同学们设一个纠错本，对曾经做错的题目，记下
来，隔一段时间再看看，避免重犯；
第五，要记住一些二级结论，以便高考时加快解题速度。所谓二级结
论，是不如教科书给出 的公式和结论基本的结论，如摩擦力对系统做的功可
以用摩擦力与相对位移的乘积求出，再如带电粒子在 磁场中做圆周运动的半
径公式、周期公式等等。