土地亩数的计算公式笛卡尔与直角坐标系

2020年10月17日发(作者：刘纪明)
课题：笛卡尔与直角坐标系


一、教学目标
(一)知识与技能
通过展示，系统本节知识，提高知识应用能力；
2.在同一直角坐标系中,感受图形上点的坐 标变化与图形的变化(平移,轴对
称,伸长,压缩)之间的关系；
3.经历探究物体与图形的 形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与
图形的基础知识和基本技能。
（二）过程与方法
1.通过图形在直角坐标系的变换, 感悟在直角坐标系中点坐标与图形位置
的对应，发展学生的形象思维能力和数形结合意识；
2.通过课前收集与学生介绍，了解笛卡尔与直角坐标系的相关故事，了解数
学发展史。
（三）情感态度和价值观
1.丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念，发展形象 思维；2.
通过有趣的图形的研究,激发学生对教学学习的好奇心与求知欲,使他们能积极
参与 数学学习活动。
二、教学重点和难点
1.重点：加深对平面直角坐标系有关知识的了解
2.难点：点坐标与图形位置的对应
三、课前准备
学生课前查找笛卡尔与直角坐标系的相关故事
四、教学过程
（一）创设情境，引出课题
1.欣赏激趣
出示在直角坐标系中动态的笛卡尔心形线 让学生欣赏，在学生一片赞叹声中
教师引出课题：笛卡尔与直角坐标系
（设计意图：动态的笛卡尔心形线是很美的，容易引发学生对笛卡尔与直角
坐标系的兴趣）
2.介绍笛卡尔
由于学生课前做过这方面的功课，所以教师请学生代表上台来介绍笛卡尔及< br>与直角坐标系的故事。
3.导题：在前几节课中我们学习了平面直角坐标系的有关知识，我们知 道点
的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点。如果坐标中
的横坐标不 变，纵坐标按一定的规律变化，或者横纵坐标都按一定的规律变化，
那么图形是否会变化，变化的规律是 怎样的，这将是本节课中我们要研究的问题。


（二）合作探究，体验规律 1.我们前几节课学习过直角坐标系，请同学们在同一个直角坐标系中描出下
列各点，并顺次连接：
(0,0),(6,3),(4,0),(6,1),(6,-1),(4,0),(6,-2),(0 ,0)
生画，投影展示生的作品，并问：学生所作的图形像什么？

（设计意图：既复习了前面所学的知识，又让学生对本节将要学习的内容有
了初步的认识）
2.例1 将上图中的点
(0,0),(6,3),(4,0),(6,1),(6,-1) ,(4,0),(6,-2),(0,0)
做以下变化:
(1)纵坐标保持不变,横坐标分别变成原来的
1

，
再将所得的点 用线段依次连接
2
起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
(2)纵坐标保 持不变,横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段依次
连接起来,所得的图案与原来的图案相比 有什么变化?
(3)纵坐标保持不变,横坐标分别加3,再将所得的点用线段依次连接起来，
所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
先出示第（1）小题，师：各点变化后的坐标是怎样的？
生说，课件出示变化后的坐标。
师：请同学们根据变化后的坐标，把变化后的图形在自己准备的坐标纸上画
出来。
生画，投影展示生的作品，并问：这个图形与原来的图案相比有什么变化呢?
生思考，指名说
师小结：第（1）小题将各点用线段依次连接起来,所得图案与原图案相比，
整条鱼横向压缩为 原来的
1
，即鱼变短了。
2
再出示第（2）（3）两小题，生练，组内交流，全班反馈。
师小结：从上面的变 化情况来看,当横坐标分别加3,纵坐标不变时,整个图
案向右平移了3个单位；当横坐标分别变成原来 的
1
,纵坐标不变时,整条鱼被
2
横向压缩为原来的
1
；< br>当横坐标分别变成原来的2倍,纵坐标不变时,整条鱼被横
2
向拉伸为原来的2倍
；
。这两种情况都是横坐标变化,纵坐标不变,图形是被压缩、
拉伸或向左右移动,当纵坐标 发生变化,横坐标不变时,鱼会怎样变化呢?
3.例2 将上图中的点(0,0),(6,3),( 4,0),(6,1),(6,-1),(4,0),(6,-2),(0,0)
做以下变化:
(1)横坐标保持不变,纵坐标分别乘-1,所得的图案与原来的图案相比有什么
变化?
(2)纵、横坐标分别变成原来的2倍,所得的图案与原来的图案相比有什么变
化?
有了例1作基础，此题完全可以放手。生练，投影展示，指名展讲。
4、议一议：
当坐标如何变化时，鱼就长大了，什么情况下，鱼就长胖了，什么情况下鱼
既长长又长胖。请大 家按小组讨论后回答。
生思考，组内交流，全班反馈。
（三）课堂练习，再次体验 < br>(1)将下图中的各个点的纵坐标不变,横坐标都乘-1,与原图案相比,所得的
图案有什么变化 ?
(2)将上图中的各个点的横坐标和纵坐标都分别乘-1,与原图案相比,所得的
图案有什 么变化?
(3)将上图中各个点的横坐标和纵坐标都分别乘-2,与原图形相比,所得的图
案 有什么变化？
生练，组内交流，指名投影展讲：
(1)当各个点的纵坐标不变,横坐标都乘 -1时,与原图案相比,所得的图案与
原图案关于y轴对称。
(2)当各个点的横坐标不变, 纵坐标都乘-1时,与原图案相比,所得的图案与
原图案关于x轴对称。
(3)由上可知,横 、纵坐标都变成原来的2倍时,整个图形是原来的2倍大，
然后横坐标、纵坐标都乘以-1,这个2倍大 的图形又翻了一个跟头。
（四）课时小结
本节课主要研究横坐标或纵坐标发生变化时,新图案与旧图案相比有什么变
化。
五、教学设计意图
《笛卡尔与直角坐标系》这一课题，一是了解笛卡尔与直角坐标系的小故事 ，
激发学生数学兴趣；二是体验点坐标与图形位置的对应，点的坐标变化与图形变
化的规律。
本节课，课始以笛卡尔之心动态播放，引发学生极大的兴趣，然后带着好奇
之心去了解笛卡尔， 进入笛卡尔的直角坐标系之中。以人教版《变化的鱼》作为
范本，进行改编，采用“自主探索——合作交 流——代表展讲”的学习方式，经
历、感受体验教材的本质问题“在平面直角坐标系中的点与有序实数对 的一一对
应关系”。
（附故事：笛卡尔最主要的成果莫过于“几何学”，准确的说是将代数和 几
何连接起来。当时，代数还比较新，在数学家的头脑中，几何学的思维仍占据一
席之地。笛卡 尔一直在思考，能不能把几何学的问题用代数的形式表达出来，打
破两者之间的界限。
坐标系 创立于1637年，笛卡尔当年创立坐标系还有一个故事。笛卡尔小的
时候身体就算不上强壮，常常卧病 在床休息，时间一久，他就养成了在床上躺着
思考问题的习惯。
研究如何数形结合，用代数描 述几何的时候，笛卡尔是在参军时，刚刚到了
一个陌生的地方，他辗转反侧，难以入睡，又开始思考几何 和代数的结合。
然而，思绪一时半会理不清，笛卡尔无聊之际看到墙面上忙着爬行织网的蜘
蛛 ，玩心大起，顿时有了兴趣，仔细观察了起来。看着蜘蛛有规律地横竖交替地
编织网格的时候，沉思中的 笛卡尔灵机一动：蜘蛛运动的轨迹能不能这一条条的
线来定位呢？蜘蛛所处的位置是不是也可以用线相交 形成的点来确定呢？
想到这里，他立马从床上爬了起来，他仔细观察两面垂直的墙面以及天花板
的交线，三平面是两两垂直的。他拿出笔来，仿照着画出了三条相互垂直的直线，
分别代表两墙面的交 线以及墙面和天花板的交线，在纸上描出一个点代表爬行于
墙面的蜘蛛。蜘蛛这个点到三平面的距离自然 是可以计算出来的，那么，这个点
不就唯一确定了吗？它的位置就能精确唯一地被表示出来了。
笛卡尔欣喜若狂，他在日记里写道：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基
本原理。”此时，他有了将 代数和几何相结合的理论基础。
随后便一发不可收拾，根据这种数形结合思想，他创立了我们现在所谓 的“解
析几何学”，在平面上，用一点到两条固定直线的距离来描述点的位置；在空间
中，就用 一点到三个相互垂直平面的距离来精确定位点。此时，几何问题不仅可
以用代数形式表示，还可以用代数 变换来实现其几何性质。）