阳炎公式书海伦公式的证明

2020年10月18日发(作者：项穆)
证明（1）
与海伦在他的著作《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公
式 和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定
理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)2ab
S=12*ab*sinC
=12*ab*√(1-cos^2 C)
=12*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^24a^2*b^2]
=14*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=14*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=14*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=14*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)2
则p=(a+b+c)2, p-a=(-a+b+c)2, p-b=(a-b+c)2,p-c=(a+b-c)2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2） 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实
在《九章算术》中 ，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，
由于土地的面积并不是的三角形，要 找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三
条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎 样根据三边的长度来求三角
形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积
术就是用小斜 平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个
数小斜平方乘以大斜平方，送到上 面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为
“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三
角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=14[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 22) 2]
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{14[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22) 2]}
因式分解得
116[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]
=116(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=18S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=12(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=c2*根号下a^-{(a^-b^+c^)2c}^ .其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD 为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形AB
CD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4
边）
代入解得s=8√ 3
证明（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1
r(tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2)=r
∵r=(p-a)tanA2=(p-b)tanB2=(p-c)tanC2
∴ r(tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2)
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA2tanB2tanC2
=ptanA2tanB2tanC2
=r
∴p^2r^2tanA2tanB2tanC2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)(tanA2tanB2tanC2)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
补充：
余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他< br>们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质——
(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，
c的平方。)
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)2bc
余弦定理的证明
平面向量证法：
∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
（以上粗体字符表示向量）
又∵Cos(π-θ)=-CosC
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的Co sC=(c^2-b^2-a^2)2ab就是将CosC移到左边表示
一下。
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sinB² ;·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB
b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)2ac