周长的计算公式长方形x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算

2020年10月18日发(作者：荣晋)
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算
x2检验（chi-square test）或称卡方检验
x2检验（chi-square test）或称卡方检验，是一 种用途较广的假设检验方法。
可以分为成组比较（不配对资料）和个别比较（配对，或同一对象两种处理 的比较）两类。
一、四格表资料的x2检验
例20.7某医院分别用化学 疗法和化疗结合放射治疗卵巢癌肿患者，结果如表
20-11，问两种疗法有无差别？
表20-11 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较




组别
化疗组
化疗加放疗组
合计

有效
19
34
53
无效
24
10
34
合计
43
44
87
有效率（%）
44.2
77.3
60.9
表内用虚线隔开的这四个数 据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出
来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency
table）从该资料算出的两种 疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差
所致，亦可能是两种治疗有效率 （总体率）确有所不同。这里可通过x2检验来区别其差异
有无统计学意义，检验的基本公式为：

式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。T为理论数，是根据检验假设推
断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。这里可
将两种疗法 合计有效率作为理论上的有效率，即5387=60.9%，以此为依据便可推算出四格
表中相应的四格 的理论数。兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤：
1.建立检验假设：
H0：π1=π2
H1：π1≠π2
α=0.05
2.计算理论数（TRC），计算公式为：
TRC= 公式（20.13）
式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数 ，nC为
与理论数同列的合计数，n为总例数。
第1行1列： 43×5387=26.2
第1行2列： 43×3487=16.8
第2行1列： 44×5387=26.8
第2行2列： 4×3487=17.2
以推算结果，可与原四项实际数并列成表20-12：
表20-12 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较




组别
化疗组
化疗加放疗组
合计

有效
19（26.2）
34（26.8）
53
无效
24（16.8）
10（17.2）
34
合计
43
44
87
因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC 式求得其中一项理论
数（例如T1.1=26.2），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减， 直接求出，示范
如下：
T1.1=26.2
T1.2=43-26.2=16.8
T2.1=53-26.2=26.8
T2.2=44-26.2=17.2
3.计算x2值按公式20.12代入

4.查x2值表求P值
在查表之前应知本题自由度。按x2检验的自由度v =（行数-1）（列数-1），
则该题的自由度v=（2-1）（2-1）=1，查x2界值表（附表2 0-1），找到x20.001（1）=6.63，
而本题x2=10.01即x2＞x20.001（ 1），P＜0.01，差异有高度统计学意义，按α=0.05水准，
拒绝H0，可以认为采用化疗加放 疗治疗卵巢癌的疗效比单用化疗佳。
通过实例计算，读者对卡方的基本公式有如下理解：若各 理论数与相应实际数
相差越小，x2值越小；如两者相同，则x2值必为零，而x2永远为正值。又因为 每一对理
论数和实际数都加入x2值中，分组越多，即格子数越多，x2值也会越大，因而每考虑x2< br>值大小的意义时同时要考虑到格子数。因此自由度大时，x2的界值也相应增大。
二、四格表的专用公式
对于四格表资料，还可用以下专用公式求x2值。

式中a、b、c、d各代表四格表中四个实际数，现仍以表20-12为例，将上式
符 号标记如下（表20-13），并示范计算。

表20-13 两种疗法治疗卵巢肿瘤患者的疗效




组别
化疗组
化疗加放疗组


有效
19（a）
34（c）
53（a+c）
无效
24（b）
10（d）
34（b+d）
合计
43（a+b）
44（c+d）
87（n）
计算结果与前述用基本公式一致，相差0.01用换算时小数点后四舍五入所致。
三、四格表x2值的校正
x2值表是数理统计根据正态分布中的定义计算出来
的。 是一种近似，在自由度大于1、理论数皆大于5时，
这种近似很好；当自由度为1时，尤其当1＜T＜5 ，而n＞40时，应用以下校正公式：

如果用四格表专用公式，亦应用下式校正：

例20.8某医师用甲、乙两疗法治疗小儿单纯性消化不良，结果如表20-14. 试
比较两种疗法效果有无差异？
表20-14 两种疗法效果比较的卡方较正计算




疗法
甲
乙
合计

痊愈数
26（28.82）
36（33.18）
62
未愈数
7（4.18）
2（4.82）
9
合计
33
38
71
从表20-14可见， T1.2和T2.2数值都＜5，且总例数大于40，故宜用校正公
式（20.15）检验。步骤如下：
1.检验假设：
H0：π1=π2
H1：π1≠π2
α=0.05
2.计算理论数：（已完成列入四格表括弧中）
3.计算x2值：应用公式（20.15）运算如下：

查x2界值表，x20.05（1）=3.84，故x2＜x20.05（1），P＞0.05.
按α=0.05水准，接受H0，两种疗效差异无统计学意义。
如果不采用校正公式，而用原基本公式，算得的结果x2=4.068，则结论就不同
了。
如果观察资料的T＜1或n＜40时，四格表资料用上述校正法也不行，可参考
预防医学专业用的医学统 计学教材中的精确检验法直接计算概率以作判断。
四、行×列表的卡方检验（x2test for R×C table）
适用于两个组以上的率或百分比差别的显著性检验。其检验步骤与上述相同，
简单计算公式如下：

式中n为总例数；A为各观察值；nR和nC为与各A值相应的行和列合计的总
数。
例20.9北方冬季日照短而南移，居宅设计如何适应以获得最大日照量，增强
居民体质，减少小儿佝偻 病，实属重要。胡氏等1986年在北京进行住宅建筑日照卫生标准
的研究，对214幢楼房居民的婴幼 儿712人体检，检出轻度佝偻病333例，比较了居室朝向
与患病的关系。现将该资料归纳如表20- 15作行×列检验。
表20-15居室朝向与室内婴幼儿佝偻病患病率比较




居室朝向
检查结果 合计
南 西、西南 东、东南 北、东北、西北
患病 180 14 120 65 379
无病 200 16 84 33 333
合计 380 30 204 98 712
患病率（%） 47.4 46.7 58.8 66.3 53.2
P>

该表资料由2行4列组成，称2×4表，可用公式（20.17）检验。
（一）检验步骤
1.检验假设
H0：四类朝向居民婴幼儿佝偻病患病率相同。
H1：四类朝向居民婴幼儿佝偻病患率不同。
α=0.05
2.计算x2值

3.确定P值和分析
本题v=（2-1）（4-3）=3，据此查附表20-1：
x20.01（3）=11.3 4，本题x2=15.08，x2＞x20.01（3），P＜0.01，按α=0.05
水准，拒绝H 0，可以认为居室朝向不同的居民，婴幼儿佝偻病患病率有差异。
（二）行×列表x2检验注意事项
1.一般认为行×列表中不宜有15以上格子的理论数小于 5，或有小于1的理
论数。当理论数太小可采取下列方法处理：①增加样本含量以增大理论数；②删去上 述理论
数太小的行和列；③将太小理论数所在行或列与性质相近的邻行邻列中的实际数合并，使重
新计算的理论数增大。由于后两法可能会损失信息，损害样本的随机性，不同的合并方式有
可能影响推 断结论，故不宜作常规方法。另外，不能把不同性质的实际数合并，如研究血型
时，不能把不同的血型资 料合并。
2.如检验结果拒绝检验假设，只能认为各总体率或总体构成比之间总的来说有差别，但不能说明它们彼此之间都有差别，或某两者间有差别。
五、配对计数资料x2检验（x2test of paired comparison of enumeration data）
在计量资料方面，同一对象实验前后差别或配对资料的 比较与两样本均数比较
方法有所不同；在计数资料方面亦如此。例如表20-16是28份咽喉涂抹标本 ，每份按同样
条件分别接种在甲、乙两种白喉杆菌培养基中，观察白喉杆菌生长情况，试比较两种培养基
的效果。
表20-16 两种白喉杆菌培养基培养结果比较




甲培养基
+
-
合计

乙培养基
+
11（a）
1（c）
12
-
9（b）
7（d）
16
合计
20
8
28
从表中资料可见有四种结果：（a）甲+乙+，（b）甲+乙 -（c）甲-乙+，（d）
甲-乙-；如果我们目的是比较两种培养基的培养结果有无差异，则（a）、 （d）两种结果是
一致的，对差异比较毫无意义，可以不计，我们只考虑结果不同的（b）和（c），看 其差异
有无意义，可以应用以下简易公式计算：

检验步骤：
1.检验假设
H0：π1=π2
H1：π1≠π2
α=0.05
2.计算x2值

3.确定P值和分析配对资料v =1，查附表20-1得知x20.05（1）=3.84，x2＞
x0.05（1），P＜0.05， 按α=0.05水准，拒绝H0，可以认为甲培养基的白喉杆菌生长效率
较高。
如果b+c＞40，则可采用：

此外还有两种以上处理方法的比较，可参阅预防医学专业的医学统计方法有关
章节。
附表20-1 x2界值表




v P V P
0.05
1 3.84
2 5.99
3 7.81
4 9.49
5 11.07
6 12.59
7 14.07
8 15.51
9 16.92
10 18.31
11 19.68
12 21.03
13 22.36
14 23.68
15 25.00

3、通过活动，使学生养成博览群书的好
0.01
6.63
9.21
11.34
13.28
15.09
16.81
18.48
20.09
21.67
23.21
24.72
26.22
27.69
29.14
30.58
0.001
10.83
13.81
16.27
18.47
20.52
22.46
24.32
26.12
27.88
29.59
31.26
32.91
34.53
36.12
37.70

16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.05
26.30
27.59
28.87
30.14
31.41
32.67
33.92
35.17
36.42
37.65
38.89
40.11
41.34
42.56
43.77
0.01
32.00
33.14
34.18
36.19
37.57
38.93
40.29
41.64
42.98
44.31
45.64
46.96
48.28
49.59
50.89
0.001
39.25
40.79
42.31
43.82
45.32
46.80
48.27
49.73
51.18
52.62
54.05
55.48
56.89
58.30
59.70
















习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差
异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额可能有借方余额 可能有贷方余额
可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)