物体吸收热量公式插值法的原理

2020年10月18日发(作者：穆仲)
《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握
摘要 在时间价值及内部报酬率计算时常用到插 入法，但初学者对该
方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相
似三角 形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公
式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于 记忆、推导快捷。
关键词 插入法；近似直边三角形；相似三角形
时间价值原 理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务
决策的基本依据。为此，财务人员必须了解时间价值 的概念和计算方
法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用
下述方法 来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》
P62对贴现期的。
事 实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期
数成正向关系。而4.000更接近于3. 791。那么最后的期数n应该更
接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。 由此可见，这种
插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。
笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分
以下几种情况介绍其原理。
一、已知系数F和计息期n。求利息率i
这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数P VIF年金现
值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数
FV IFA)。
(一)已知的是现值系数
那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系
数反而越小，可用图1表示。
图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数
的图示略有不同，在于i 可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，
F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F对应的 利息率即
为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F，其对应的利息率为i。




(二)已知的是终值系数

那么系数与利息率之间是正向关系：利息率越大系数也越大。其
关系可用图2表示。
图 2中，F表示根据题意计算出来的某种终值系数。F为在相应
系数表中查到的略小于F的那个系数。F对 应的利息率仍记作i，查
表所得的另一个比F略大的系数记作F，其对应的利息率即为i。
上面两图中，二者往往相差1％，最多也不超过5％，故曲边三
角形ABC和ADE可近似地看作直边三 角形。
二、已知系数F和利息率i。求计息期n
(一)已知的是终值系数和年金现值系数
那么系数与计息期间是正向关系：计息期越大系数也越大。可用
图3表示。
图3中。F 表示根据题意计算出来的终值系数或年金现值系数，
F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。F 对应的计息期即
为n，查表所得的另一个比F略大的系数即记作F。其对应的计息期
为n。
(二)已知的是复利现值系数
那么系数与计息期间是反向关系：计息期越大系数反而越小。可
用图4表示。
图4中， F表不根据题意计算出来的复利现系数。F1为在相应系
数表中查到的略大于F的那个系数，F1对应的 计息期即为n1，那么
还有另一个比F略小的系数即记作F2，其对应的计息期为n2。
同理，当n1和n2无限接近时，近似直边三角形ABC、ADE为
相似三角形，则有：BC／DE=A BAD
在图3中即有：F-F1／F2-F1=n-n1n2-n1
在图4中则有：n-n1n2-n1＝F1-F／F1-F2
据上面两式均可求得：
n=n1+F1-F／F2-F1(n2-n1)…………………………公式2
三、内部报酬率IRR的计算
内部报酬率(或叫内部收益率)IRR是投资决策常用指标之一， 也
采用插值法来计算，其原理等同于时间价值中利息率的计算，只是因
变量由终值、现值系数转 变为净现值NPV。其计算原理可在图5中
得到反映。
这里，i1＜i2，且二者之差 不超过5％，这是在实际计算中很多
人容易忽略的一个方面。在测算净现值时。先试用一个较小的贴现率 ，
求得的NPV远大于零，于是就再选用一个大得多的贴现率让NPV小
于0，之后也直接套用 公式3来计算IRR，这样虽然省事。但误差较
大，有时候会影响决策。因为此时曲边三角形不可以近似 看作直边三
角形，后面的推导也就不成立了。理解了这一原理，一般就会注意两
次试用的贴现率 之间差距不要太大。其标准就是不超过5％。
以上三个公式均是以较小的变量(i1、n1)加 上插入值。可以称为
加法公式。公式中分式部分即插入值。其分子、分母的被减项都是较
小变量 对应的系数或净现值，这样对应记忆快捷准确。加上三者结构
一致，记住一个即可举一反三，非常方便。
这三个公式均是以较大的一项(i2、n2)为起点，减去插入值，可
以称为减法公式。分 式中分子、分母的被减项均是较大变量对应的系
数或净现值，也是对应关系。
本文开头 所提例子应该用减法公式，直接套用公式2，因为其列
示已知变量是从大到小，但教材却用了加法公式2 。导致错误。如果
采用加法公式2，那就要对查表已知的期数及年金现值系数从小到大
重新排列 。正确运用两公式的结果是一样的，均为5.4年。
插值法的原理是相似三角形定理，据此。即 使模糊或忘记了公式
也可采用文中任一图示快速、准确地推导出来。而且采用公式法，不
论是根 据什么系数。也不论是求解利息率、计息期还是IRR。均可套
用，简单有效又不容易出错。