排三公式数学思维训练五年级

2020年10月18日发(作者：鲁清)
教学系列之七：

等差数列求和（1)
教学目标：
1、让学生了解数学家高斯的生平，感受数学的魅力，激发学生学习数学的热
情。
2 、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识
解决实际问题的能力。
教学过程：
一、高斯的故事
德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在 一个贫穷的家庭。高斯在
还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，
还纠正父亲计算的错误。
长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方
面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则
称呼他为“数学王子”。







他八岁时进入乡村小学读 书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉
得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又 有些偏见：
穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会
还应该处罚 他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。
这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那 抑郁的脸孔，
心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。
“你们今天替我算从1 加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他
不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起 一本小说坐在椅
子上看去了。
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3 等于6，
6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加
下去，数越 来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额
上渗出了汗来。
还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是
不是这样？”
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老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他
想不可能这么快就会有 答案了。
可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案
是对的。” < br>数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：
5050，他惊奇起来，因为 他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁
的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？
高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来
计算级数1+2+3+…+n的方法 。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前
目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认 真教起书来，
并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯
以后便在 数学上作了一些重要的研究了。

二、趣味数学之等差数列
(一)等差数列的基本知识
1.数列的基本知识
2.等差数列的基本知识
(二)等差数列的项——等差数列的通项公式
1.等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）
例： 已知数列2、5、8、11、14……
求：（1）它的第10项是多少？
（2）它的第98项是多少？
（3）这个数列各项被几除有相同的余数？


2. 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
例： 已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项？

3. 小结等差数列项的有关规律
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4.练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。
（1）它的第21项是多少?
（2）这串数共有多少个？


2、一串数：2、4、6、8、……2008。
（1）它的第25项是多少?
（2）这串数共有多少个？


3、一串数：101、102、103、104、……199。
（1）它的第30项是多少?
（2）这串数共有多少个？


4、一串数：7、12、17、22……。
（1）它的第60项是多少?
（2）这个数列各项被几除有相同的余数？


三、总结：说说上课后的感想
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教学系列之八：

等差数列求和（2）
教学目标：
1、让学生了解数学家斐波纳契的生平，提升学生的学习兴趣，激
发学生学习数学的热情。 < br>2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应
用数学知识解决实际问题的能力 。
教学过程：
一、意大利数学家斐波那契
经过12世纪的传播时期之后，初等数 学在欧洲获得了相应的发展．在
13世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心．特别是 商
业的发展，带来了相当复杂的计算．这时的欧洲出现了第一批理论数学
家．意大利作为当时的 商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家——斐波
那契。






斐波那契是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从—阿拉伯教师
学习 计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的
学者，熟悉了不同国家在商业上使用 的算术体系。经过研究和比较，他认
为其他数系无一能与印度—阿拉伯数系相媲美。斐波那契于1200 年回到家
乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成《算盘书》这是向西欧介绍
印度—阿拉伯 数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍了一些
算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书 名中“算盘”一词已失去它
作为计算工具的本意，而应理解为“算术”或由印度—阿拉伯数系而产生的“算法”。斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知
识，改进了欧氏几何的某些 技巧，归纳了同种类型的方法和习题。在算术
和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典 范。下面简要
介绍一下《算盘书》的主要内容。
《算盘书》共有15章．第1－－－5章介绍印度—阿拉伯数码记数法
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及其 四则运算。第6，7章介绍分数记法及其运算。第8－－－11章讨论商
业上实用的各种算术问题的解法 。在第11章讨论的混合问题。第12章的
内容最为丰富，涉及各种类型的问题，如各种数列的求和法： 算术级数、
几何级数、平方数数列和递归数列等．几何级数的求和是为解决来自埃及
纸草书中的 问题，而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中：假
定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生 长两个月就成大兔，问在不发
生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个< br>问题使斐波那契名垂史册．问题的答案由下列和式给出：
1＋1＋2＋3＋5＋8＋…＋233．
其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列现称斐波 那契数
列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以
后的近800年 中一直是许多学者研究的对象。第13章是用双设法解线性方
程。第14章介绍平方根和立方根的近似计 算。第15章是问题汇编。《算
盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名
列12－－－14世纪数学著作之冠，对欧洲数学的发展产生了重要的影响。

二、趣味数学之等差数列求和
1.例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38


2.例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276


3.练习：
（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37



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（2）7+11+15+19+......+403



（3）9+19+29+39+......+99



（4）1+3+5+7+......+99



三、等差数列知识总结：
怎样判断一个数列是等差数列
怎样求出等差数列的任意一项或项数
怎样求出等差数列前几项的和
必须牢记等差数列的基本公式和重要结论


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教学系列之九：

等差数列求和（3)
教学目标：
1、让学生了解数学家韩信的生平，感受数学魅力，激发学生学习数学的热情。
2、在趣味数 学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识
解决实际问题的能力。
教学过程：
一、韩信的故事
韩信是中国历史上最有名的军事家之一，被刘邦和 吕后出于嫉妒和私
心害死了。历史上很多史家和学者为他平反，众多的诗人为他留下大量的
诗篇 。围绕着韩信还流传了各种各样的传说。在今天我们所介绍的两则传
说中，人们把他作为智慧的化身，就 寄托着历代人们对他的深切的同情和
怀念。






韩信分油
据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁。这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只
空的葫芦，罐可装7斤油 ，葫芦可装3斤油。要把这10斤油平分，每人5
斤。但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒 去。应该怎样分呢？
韩信骑在马上，了解情况以后，说：“葫芦归罐罐归篓，二人分油回
家走 。”说完了，打马就走。两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油
平均分成两半，每人5斤，高高兴兴 ，各自回家。究竟是怎样倒来倒去的
呢？三种容器各自装油斤数的变化过程，可从下面的表中看出。
篓
罐
葫
芦
10
0
0
7
0
3
7
3
0
4
3
3
4
6
0
1
6
3
1
7
2
8
0
2
8
2
0
5
2
3
5
5
0
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韩信所说的“葫 芦归罐”，是指把葫芦里的油往罐里倒；“罐归篓”
是指把罐里的油往篓里倒。通常分油要把油从大容器 往小容器里倒，现在
却把小容器里的油往大容器里“归”。往油葫芦里倒油，只能得到3斤的
油 量；把葫芦里的油往罐里“归”，“归”到第三次，葫芦里就出现2斤
的油量。再把满满一罐油“归”到 篓里，腾出空来，把葫芦里的2斤油“归”
到空罐里；最后再倒一葫芦3斤油，“归”到罐里，就完成分 油任务了。
韩信点兵
秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交 战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵
马也返回大本营。 当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只
见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫 ，这时队伍大哗。韩信
兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，
结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7
人一排，结果又多出2名。韩 信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，
敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌 人。汉军本来就
信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于
是士气 大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
二、趣味数学之等差数列求和应用
1.例：在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石子 。如果第
一格放入2粒，第二格放入4粒，第3格放入6粒，第四
格放入8粒……依次类推，放 满64格，一共要放入多少粒
石子？


2.
例：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边
长是1根火柴棍。
（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？
（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？


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3.练习：
（1）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后 每天都比前一天
多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多
少个单词？


（2）有一家电影院，共有30排座位，后一排都比前一排多两个
位置， 已知第一排有28个座位，那么这家电影院共可以容纳多少
名观众？


（ 3）盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一
只球，将它变成3只球后放回盒子里；第 二次又从盒子里拿出二
只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里
拿出十只 球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子
里共有多少只乒乓球？

< br>（4）时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟
也敲一下。问：时钟一昼夜敲打 多少次？

三、总结：说说上课后的感想
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