三角形恒等变换公式2000年高考.全国卷.文科数学精彩试题及问题详解

2020年10月18日发(作者：刘金良)

2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）
本试卷 分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至
8页。共150分 。考试时间120分钟。
第I卷（选择题60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的、号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案 后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答，不能答在 试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式

其中c′、c分别表示上、下底面
周长，l表示斜高或母线长

其中S′、S分别表示上、下底面积，
h表示高
一、选择题：本 大题共12分，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 < br>（1）设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B中的 元素个数是
（A）11 （B）10 （C）16 （D）15
（2）在复平面，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是
（A） （B） （C） （D）
（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是
（A） （B） （C）6 （D）













（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是
（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ
（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ
（５）函数y=-xcosx的部分图象是


（６）《中华人民国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不 超过800元的部分
不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算 。
全月应纳税所得额
不超过500元的部分
超过500元至2000元的部分
超过2000元至5000元的部分
…
税率
5%
10%
15%
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
（A）800～900元 （B）900～1200元 （C）1200～1500元 （D）1500～2800元
（7）若a>b>1，，则
（A）R （8）已知两条直线，其中a为实数。当这两条直线的夹角在变动时，a的取值围是
（A）（0，1） （B） （C） （D）
（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
（A） （B） （C） （D）
（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
（A） （B） （C） （D）
（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点 ，若线段PF与FQ的长
分别是p、q，则等于
（A）2a （B） （C）4a （D）
（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕 轴旋转一周所得曲面将圆锥分
成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为
（A） （B） （C） （D）







2000年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文史类）
第II卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线的项目填写清楚。
题号 二


17

18

19

三
20

21

22

总分
分数
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（13 ）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排
在第一、第三、五位 置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有
_________种（用数字 作答）
（14）椭圆的焦点为，点P为其上的动点。当为钝角时，点P横坐标的取值围是
__________________。
（15）设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3…），则它的通项公式是=_________。
（16）如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可
能是__________________。
（要求：把可能的图的序号填上）


























三、解答题：本大题共16小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本小题满分12分）
已知函数
（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（18）（本小题满分12分）
设为等差数列，为数列的前n项和，已知，为数列的前n项和，求。
（19）（本小题满分12分）
如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且
（I）证明：；
（II）当的值为多少时，能使？请给出证明。

（20）（本小题满分12分）
设函数，其中a>0。
（I）解不等式f(x)≤1；
（II）证明：当a≥0时，函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调函数。
（21）（本小题满分12分）
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的3 00天，西红柿市场售价
与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系 用图二的抛物
线段表示。
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；
写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）
（22）（本小题满分14分）
如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E
三 点，且以A、B为焦点。求双曲线的离心率。






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数学试题（文史类）参考解答及评分标准

说明：
一、本解答 指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的容

< br>和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果 后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
（1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C
（7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分60分。
（13）252 （14） （15） （16）②③
三、解答题
（17）本小题主要考查 三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以
及运算能力。满分12分。
解：（I）
……………………3分
y取得最大值必须且只需

即
所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
……………………6分
（II）变换的步骤是：
（1）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象；…………9分
（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的
图象；
经过这样的变换就得到函数的图象。……………12分
（18）本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分。
解：设等差数列的公差为d，则


……………………6分
即
解得 ，d=1 ………………………8分


∴数列是等差数列，其首项为-2，公差为
……………………12分
（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。
（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BC=CD
又




∵DO=OB
…………………3分
但AC⊥BD，

又 ……………………6分
（II）当时，能使
证明一：
∵

又
由此可推得
∴三棱锥是正三棱锥。……………………9分
设相交于G.


又是正三角形的BD边上的高和中线,
∴点G是正三角形的中心。

即。 ……………………12分
证明二：
由（I）知，
。……………………9分
当时，平行六面体的六个面是全等的菱形。
同的证法可得
又
……………………12分
（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分数 计论的数学思想方
法和运算、推理能力。满分12分。
解：（I）不等式f(x)≤1即
，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a>0
所以，原不等式等价于

即 ……………………3分
所以，当0 当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥
0} ……………………6分
（II）证明：在区间[0，+∞)上任取，使得
……………………9分

，且a≥1

又