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大和玄学公式丹德林双球模型截面下椭圆的离心率-最新资料

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-18 16:33
tags:椭圆球公式

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2020年10月18日发(作者:管子怀)
丹德林双球模型截面下椭圆的离心率

1.一道习题
教学期间, 遇到这样一道选择题:一个半径为2的球放在桌
面上,桌面上的一点A的正上方有一个点光源A′,AA ′与球相
切,AA′=6,球在桌面上的投影是一个椭圆,则这个椭圆的离心
率等于( )
A B C D
2.习题的题源
这道习题背景来自于人教社A版 教材选修2-1的探究与发
现,教材中利用过球外一点做球的切线,则切线长都相等这
一结论, 证明了用一个平面去截圆锥,得到的截口是椭圆,从证
明过程中可以得到以下结论:
( 1)两个球的球心都在圆锥的轴上;(2)两个球与椭圆面
的切点是椭圆的两个焦点,(3)过椭圆的长 轴和圆锥的轴的截
面中,两个球的截面大圆分别与三角形和四边形内切(如图1)
同样 情况,用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱,得到的
截口曲线也是椭圆。下面给予证明:如图2,用两 个半径相等的
球内切与圆柱,并且都与截面相切,记切点为E、F,在截口曲
线上任取一点A, 过A做圆柱的母线,分别与两个球相切于点B、
C,则AE=AC,AF=AB,于是可得AE+AF= AB+AC=BC,BC恰好等于
两球的球心距,是定值,由椭圆的定义可知,截口是椭圆。同样
可以得到以下结论:(1)两个球的球心和截面中心都在圆柱的
轴上;(2)两个球与截面的切点是椭 圆的焦点;(3)椭圆的短
轴长等于圆柱底面直径;(4)过椭圆长轴和圆柱的轴的截面中,
两 个等圆内切于直角梯形。
3.截面椭圆的离心率
在圆锥截面椭圆中,过圆锥的 轴和椭圆的长轴的截面如图3,
在中,设,球的截面是球的大圆圆O1,与A1A2切与F2点,该点是椭圆的一个焦点,由正弦定理可以得到:,其中,
那么
,从而得到椭圆离心率。
在圆柱斜截面椭圆中,过圆柱的轴与椭圆长轴的截面如图4,
设与矩形一边所成锐角为θ,过作平行于矩形的另一边,则等
于圆柱的底面直径,也等于椭圆的短轴长。
中,,
从逻辑关系看,圆柱截面图形可以看着圆锥截面中P点在无
穷远处 ,此时中心投影可以近似地看着平行投影,,利用洛比塔
法则可以证明:
利用三角变换 也可以得到同样的结论。从推理过程看,两种
截面中的椭圆离心率的大小,前者当圆锥轴截面顶角一定时 ,可
由圆锥过点的母线与截面所成角来确定,后者椭圆离心率可由圆
柱母线与截面所成角的余弦 值确定。
4.结论的应用举例
例1:(文首例题)如图5,由条件可得 , 又有AF=AC=2,
则,
设BD=BF=x,由勾股定理得 ,x=6,
在中,,,, 从而
例2:球在平面上的斜射影为椭圆,已知一巨型广告气球直< br>径6米,太阳光线与地面所成角为60°,求此广告气球在地面
上投影椭圆的离心率。
解:太阳光线与地面所成角即为圆柱母线与截面所成角,
因此 ,则椭圆离心率
例3:平面与平面相交成锐角,平面内的一个圆在平面上的
射影是离心率为的椭圆,求角的大小。
解析:本题的背景是:一个圆面在与平面垂直的平行光线下,
绕一条直径转动圆面,在平面 上的投影是一个椭圆,和第二种截
面椭圆推理方法相同,当圆面与投影面所成二面角为时,,因此
本题中.
从上面结论的研究过程可以看出,教材编写者在设计探究
与发现,信息技术 与应用,阅读与思考等栏目时是独具匠
心,不仅希望拓展学生的知识视野,让学生知道数学在生活中的< br>应用,还让师生回归生活本源和知识本源,探究最本质的知识与
方法,发现数学中一些问题的真谛 和美。

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