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速度叠加公式无锡中考数学试题(解析版).doc

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-18 22:30
tags:电度数公式

江苏科技大学分数线-崔颢

2020年10月18日发(作者:唐槐秋)





数学试卷

江苏省无锡市

20XX 年中考数学试卷



一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题所给出的四个选项中,只有


























一项是正确的,请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑)
1.( 3 分)( 2014?无锡)﹣ 3 的相反数是(

A.3








考点 :相反数.


分析:根据相反数的概念解答即可.



解答:解:﹣ 3 的相反数是﹣(﹣

3) =3.


故选 A.


点评:本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上


B.﹣3

C. ±3



D.
















“﹣ ”号;一个正数
的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,













0 的相反数是
0.
2.( 3 分)( 2014?无锡)函数

y=




中自变量
x 的取值范围是(


D. x≠2
A . x>2
B. x≥2 C. x≤2
考点 :二次根式有意义的条件.
分析:二次根式的被开方数大于等于零.
解答:解:依题意,得
2﹣ x≥0,
解得

x≤2.
故选: C.
点评:考查了二次根式的意义和性质.概念:式子

( a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被
开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.




3.( 3 分)( 2014?无锡)分式
A .
B.

可变形为(
C.

D.







考点 :分式的基本性质.
分析:根据分式的性质,分子分母都乘以﹣

解答:
解:分式

的分子分母都乘以﹣

1,

1,分式的值不变,可得答案.





得﹣

故选; D.
点评:本题考查了分式的性质,

分式的分子分母都乘以或除以同一个不为 0 的整式,分式的值不
变.
















4.( 3 分)(2014?无锡)已知 A 样本的数据如下: 72,73,76,76, 77,78, 78, 78, B 样
本的数据恰好是

A 样本数据每个都加 2,则 A,B 两个样本的下列统计量对应相同的是




A .平均数

考点 :统计量的选择.
分析:根据样本 A ,B 中数据之间的关系,结合众数,平均数,中位数和标准差的定义即可
得到结论.
则样本数据 B 中的众数和平均数以及中位数和
只有标准差没有发生变化,




B. 标准差

C.中位数

D.众数
解答:解:设样本 A 中的数据为 x
i
,则样本 B 中的数据为 y
i
=x
i
+2,
A 中的众数,平均数,中位数相差 2,















故选: B
点评:本题考查众数、平均数、中位数、标准差的定义,属于基础题.
5.( 3 分)( 2014?无锡)某文具店一支铅笔的售价为

1.2 元,一支圆珠笔的售价为

店在 “6?1 儿童节 ”举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打

售,结果两种笔共卖出

一次方程为(


B. 1.2×0.8x+2 ×0.9( 60﹣x) =87
D. 2×0.9x+1.2 ×0.8( 60﹣x) =87
2 元.该
9 折出 8 折出售,圆珠笔按原价打

60 支,卖得金额 87 元. 若设铅笔卖出 x 支,则依题意可列得的一元
A .1.2×0.8x+2 ×0.9( 60+x) =87

C. 2×0.9x+1.2 ×0.8( 60+x) =87

考点 :由实际问题抽象出一元一次方程.
分析:设铅笔卖出

x 支,根据 “铅笔按原价打 8 折出售,圆珠笔按原价打 9 折出售,结果两种笔共
卖出 60 支,卖得金额 87 元 ”,得出等量关系: x 支铅笔的售价 +( 60﹣ x)支圆珠笔的售




价 =87 ,据此列出方程即可.
解答:解:设铅笔卖出 x 支,由题意,得
1.2×0.8x+2 ×0.9( 60﹣ x) =87.
故选 B.
点评:考查了由实际问题抽象出一元一次方程,根据根据描述语找到等量关系是解题的关
键.









6.( 3 分)(2014?无锡)已知圆锥的底面半径为 4cm,母线长为 5cm,则这个圆锥的侧面积
是( )

2
20πcm
A . B. 20cm
2
C. 40πcm
2
D. 40cm
2
考点 :圆锥的计算.
分析:圆锥的侧面积 =底面周长 ×母线长 ÷2,把相应数值代入即可求解.
解答:解:圆锥的侧面积

故选 A.
点评:本题考查了圆锥的计算,

解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法, 特别是圆锥的底面周
长等于圆锥的侧面扇形的弧长.
=2π×4×5÷2=20 π.



7.( 3 分)( 2014?无锡)如图, AB ∥ CD,则根据图中标注的角,

是 (

下列关系中成立的







































A . ∠1= ∠ 3

考点 :平行线的性质.
B. ∠ 2+∠ 3=180°

C. ∠ 2+∠4< 180°

D. ∠ 3+ ∠ 5=180°
分析:根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解.
解答:解: A 、∵ OC 与 OD 不平行,
∴∠ 1=∠3 不成立,故本选项错误;
B 、∵ OC 与 OD 不平行,
∴∠ 2+∠3=180 °不成立,故本选项错误;
C、∵ AB ∥CD,
∴∠ 2+∠4=180 °,故本选项错误;
D、∵ AB∥CD,
∴∠ 3+∠5=180 °,故本选项正确.
故选 D.
点评:本题考查了平行线的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.




8.( 3 分)( 2014?无锡)如图, AB 是⊙ O 的直径, CD 是⊙ O 的切线,切点为 D, CD 与
AB 的延长线交于点
AB=2BC
C,∠ A=30 °,给出下面

3 个结论: ① AD=CD ;② BD=BC ;③




























其中正确结论的个数是(

A .3

考点 :切线的性质.
B. 2

C.1

D.0
分析:连接 OD ,CD 是⊙ O 的切线,可得 CD⊥ OD ,由∠ A=30 °,可以得出∠ ABD=60 °,△ ODB

30
0
所对的直角边等于斜边
是等边三角形,∠ C=∠ BDC=30 °,再结合在直角三角形
中的一半,继而得到结论 ①②③ 成立.解答:解:如图,连接

OD,
∵ CD 是⊙ O 的切线,
∴ CD⊥OD,
∴∠ ODC=90 °,
又∵∠ A=30 °,
∴∠ ABD=60 °,
∴△ OBD 是等边三角形,












∴∠ DOB= ∠ ABD=60 °, AB=2OB=2OD=2BD


∴∠ C=∠ BDC=30 °,
∴ BD=BC , ② 成立;
∴ AB=2BC , ③ 成立;
∴∠ A=∠C,
∴ DA=DC ,① 成立;
综上所述, ①②③ 均成立,故
答案选: A .





































点评:本题考查了圆的有关性质的综合应用,在本题中借用切线的性质,
是解题的关键.
求得相应角的度数
9.( 3 分)( 2014?无锡)在直角坐标系中,一直线 a 向下平移 3 个单位后所得直线
A ( 0,3),将直线 b 绕点 A 顺时针旋转 60°后所得直线经过点 B(﹣
函数关系式为( )

A . y=﹣


b 经过点
, 0),则直线 a 的
x

B.

y=﹣

x
C. y=﹣
x+6
D

y= ﹣
x+6
考点 :一次函数图象与几何变换.

分析:先用待定系数法求出直线
3),(

AB 的解析式为 y= x+3 ,再由题意, 知直线 b 经过 A( 0,
x+3,然后将直线 b 向上平移 3 个单位
a 的解析式.













,0),求出直线 b 的解析式为 y=﹣





后得直线 a,根据上加下减的平移规律即可求出直线
解答:解:设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ,
∵ A( 0, 3),B(﹣


, 0),

,解得 ,

∴直线 AB 的解析式为 y=
由题意,知直线
y=
3),( , 0),


x+3 .

x+3
绕点 A 逆时针旋转 60°后得到直线 b,则直线 b 经过 A( 0,












易求直线 b 的解析式为 y= ﹣

x+6.
x+3 ,

将直线 b 向上平移 3 个单位后得直线










a,所以直线 a 的解析式为 y=﹣












x+3+3 ,即 y=


故选 C.
点评:本题考查了一次函数图象与几何变换,解决本题的关键是得到把直线
A 逆时针旋转 60°后得到直线 b 的解析式.

y=

x+3 绕点














10.( 3 分)( 2014?无锡)已知 △ ABC 的三条边长分别为 3,4, 6,在 △ ABC 所在平面内画
一条直线,将 △ ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多
可画(

A.6条


B.7 条

C.8 条

D.9 条
考点 :作图 —应用与设计作图;等腰三角形的判定
分析:利用等腰三角形的性质分别利用

解答:解:如图所示:当

AB , AC 为底以及为腰得出符合题意的图形即可.
BC
1
=AC
1
, AC=CC
2
,AB=BC
3
, AC
4
=CC
4
,AB=AC
5
, AB=AC
6

















BC
7
=CC
7
时,都能得到符合题意的等腰三角形.
故选: B.
点评:此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识,
论得出是解题关键.
二、填空题(本大题共

正确利用图形分类讨
8 小题,每小题 2 分,共 16 分。不需要写出解答过程,只需把答案

直接填写在答题卡相应的位置)



3
11.(2 分)( 2014?无锡)分解因式: x
﹣ 4x= x( x+2)( x﹣ 2)

考点 :提公因式法与公式法的综合运用.
分析:应先提取公因式 x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
3
解答:解: x ﹣4x,




=x ( x+2 )( x﹣ 2).
点评:本题考查了提公因式法,

公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行 二次因式
分解,分解因式一定要彻底,直到不能再分解为止.



12.( 2 分)( 2014?无锡)据国网江苏电力公司分析,我省预计今夏统调最高用电负荷将达
7
8.6×10
到 86000000 千瓦,这个数据用科学记数法可表示为
千瓦.
考点 :科学记数法 —表示较大的数.




分析:科学记数法的表示形式为
要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同.
原数绝对值> 1 时, n 是正数;当原数的绝对值<
解答:解:将 86000000 用科学记数法表示为:
7
故答案为: 8.6×10.

1 时, n 是负数.
8.6×10.

n
a×10 的形式,其中 1≤|a|< 10, n 为整数.确定 n 的值时,



7

点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为
< 10, n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
n
a×10 的形式,其中 1≤|a|























13.( 2 分)( 2014?无锡)方程

的解是

x=2


考点 :解分式方程.
专题 :计算题.
分析:观察可得最简公分母是

式方程求解.
解答:解:方程的两边同乘

2x=x+2 ,
解得 x=2.
检验:把

x=2 代入 x( x+2 )=8≠0.
∴原方程的解为:

x=2.
故答案为

x=2 .
点评:本题考查了分式方程的解法,注:
( 1)解分式方程的基本思想是 “转化思想 ”,把分式方程转化为整式方程求解.
( 2)解分式方程一定注意要验根.
x( x+2),得
x(x+2 ),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整





14.( 2 分)( 2014?无锡)已知双曲线 y= 经过点(﹣ 2, 1),则 k 的值等于 ﹣1 .
考点 :反比例函数图象上点的坐标特征.
分析:
直接把点(﹣
2, 1)代入双曲线 y=
解答:
解:∵双曲线
y=经过点(﹣ 2,1),
∴1=






,求出 k 的值即可.



解得 k= ﹣1.
故答案为:﹣ 1.
点评:本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,

即反比例函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式.





15.( 2 分)( 2014?无锡)如图, △ ABC 中, CD⊥AB 于 D, E 是 AC 的中点.若 AD=6 ,
DE=5 ,则 CD 的长等于 8 .




















考点 :勾股定理;直角三角形斜边上的中线
分析:由 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

中,利用勾股定理来求线段

”求得 AC=2DE=10 ;然后在直角 △ ACD
CD 的长度即可.






解答:解:如图,∵△ ABC 中, CD ⊥ AB 于 D , E 是 AC 的中点, DE=5 ,








∴ DE= AC=5 ,
∴ AC=10 .
在直角 △ACD 中,∠ ADC=90 °, AD=6 , AC=10 ,则根据勾股定理,得
CD=

故答案是: 8.
点评:本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线.

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半求得 AC 的长度是解题的难点.
=

=8.






















16.( 2 分)(2014?无锡)如图, ?ABCD 中, AE ⊥ BD 于 E,∠ EAC=30 °,AE=3 ,则 AC 的
长等于

4


考点 :平行四边形的性质;解直角三角形
分析:设对角线 AC 和 BD 相交于点 O,在直角 △AOE 中,利用三角函数求得

OA 的长,然后根据
平行四边形的对角线互相平分即可求得.
























解答:
解:∵在直角 △ AOE 中, cos∠ EAC=

∴OA=

=

=2



又∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AC=2OA=4

故答案是: 4



点评:本题考查了三角函数的应用,

以及平行四边形的性质: 平行四边形的对角线互相平分,正
确求得 OA 的长是关键.




























17.( 2 分)( 2014?无锡)如图,已知点
P 是半径为 1 的⊙ A 上一点,延长
AP
到 C,使
PC=AP ,
以 AC 为对角线作 ?ABCD .若 AB=
,则 ?ABCD 面积的最大值为
2

































考点 :平行四边形的性质;勾股定理;切线的性质.




分析:由已知条件可知 AC=2 ,AB=

根据 AB ⊥AC 即可求得.
解答:解:由已知条件可知,当

∵ AB=

, AC=2 ,
,应该是当
AB 、AC 是直角边时三角形的面积最大,
AB ⊥ AC 时 ?ABCD
的面积最大,
∴ S

ABC
=


=








S
?ABCD
=2S

ABC

=2

∴ ?ABCD 面积的最大值为 2 .
故答案为 2


点评:本题考查了平行四边形面积最值的问题的解决方法,

找出什么情况下三角形的面积最大是
解决本题的关键.


































18.( 2 分)( 2014?无锡)如图,菱形

ABCD 中,∠ A=60 °,AB=3 ,⊙ A 、⊙ B
的半径分别

3


为 2 和 1,P、 E、F 分别是边 CD 、⊙ A 和⊙ B 上的动点,则

PE+PF 的最小值是
考点 :轴对称 -最短路线问题;菱形的性质;相切两圆的性质.
分析:利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出

即可.
解答:解:由题意可得出: 当 P 与 D 重合时, E 点在 AD 上,F 在 BD 上,此时 PE+PF 最小,连
接 BD,
∵菱形 ABCD 中,∠ A=60 °,
∴ AB=AD ,则 △ ABD 是等边三角形,
∴ BD=AB=AD=3 ,
∵⊙ A 、⊙ B 的半径分别为 2和 1,
∴ PE=1, DF=2 ,
∴ PE+PF 的最小值是 3.
故答案为: 3.
P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值,进而求出















































































点评:此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识,
题关键.



根据题意得出
P 点位置是解
三、解答题(本大题共 10 小题,共字
说明、证明过程或演算步骤)

84 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文

19.( 8 分)( 2014?无锡)( 1)

﹣ |﹣ 2|+(﹣ 2)
0

(2)( x+1 )( x﹣ 1)﹣( x﹣ 2)
2







考点 :实数的运算;整式的混合运算;零指数幂
专题 :计算题.
分析:( 1)原式第一项利用平方根定义化简,第二项利用绝对值的代数 意义化简,最后
一项利用零指数幂法则计算即可得到结果;
( 2)原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用完全平方公式展开,去括号合
并即可得到结果.
解答:解:( 1)原式 =3 ﹣2+1=2 ;
2 2






( 2)原式 =x ﹣ 1﹣ x +4x ﹣ 4=4x﹣ 5.
点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2
20.( 8 分)( 2014?无锡)( 1)解方程: x﹣ 5x﹣ 6=0;


(2)解不等式组:







考点 :解一元二次方程

-因式分解法;解一元一次不等式组.


专题 :计算题.
分析:( 1)方程左边分解因式后,

利用两数相乘积为 0,两因式中至少有一个为 0 转化为两个一
元一次方程来求解;


( 2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即






可.解答:解:( 1)方程变形得: ( x﹣6)( x+1)=0 ,
解得: x
1
=6, x
2
=﹣ 1;
(2)






由 ① 得: x≥3;
由 ② 得: x> 5,















































则不等式组的解集为

则是解本题的关键.
x> 5.
点评:此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,以及一元一次不等式组,熟练掌握运算法
21.( 6 分)( 2014?无锡)如图,已知:

△ ABC 中, AB=AC , M 是 BC 的中点, D、 E 分别
是 AB 、 AC 边上的点,且 BD=CE .求证: MD=ME .
考点 :全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质
专题 :证明题.
分析:根据等腰三角形的性质可证∠
即可解题.
解答:证明: △ABC 中,
∵ AB=AC ,
∴∠ DBM= ∠ECM ,
∵M 是 BC 的中点,
∴ BM=CM ,
在 △ BDM 和△ CEM 中,

DBM= ∠ ECM ,可证 △ BDM ≌△ CEM ,可得 MD=ME ,





∴△ BDM ≌△ CEM (SAS),
∴ MD=ME .
点评:本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质.



22.( 8 分)(2014?无锡)如图,AB 是半圆 O 的直径, C、D 是半圆 O 上的两点, 且 OD∥


















BC, OD 与 AC 交于点 E.
( 1)若∠ B=70 °,求∠ CAD 的度数;
( 2)若 AB=4 , AC=3 ,求 DE 的长.
考点 :圆周角定理;平行线的性质;三角形中位线定理
分析:( 1)根据圆周角定理可得∠

ACB=90 °,则∠ CAB 的度数即可求得, 在等腰 △ AOD 中,













根据等边对等角求得∠

DAO 的度数,则∠ CAD 即可求得;
OE 的长,则 DE 即可求得. ( 2)易证 OE 是 △ ABC 的中位线,利用中位线定理求得

解答:解:( 1)∵ AB 是半圆 O 的直径,
∴∠ ACB=90 °,
又∵ OD∥ BC,
∴∠ AEO=90 °,即 OE⊥ AC ,∠ CAB=90 °﹣∠ B=90 °﹣ 70°=20 °.
∵ OA=OD ,
∴∠ DAO= ∠ ADO=

=

=55 °


∴∠ CAD= ∠ DAO ﹣∠ CAB=55 °﹣ 20°=35°;




( 2)在直角 △ ABC 中, BC=



=

=


∵ OE⊥ AC ,
∴ AE=EC ,又
∵ OA=OB ,







∴ OE= BC= .
又∵ OD= AB=2 ,
∴ DE=OD ﹣ OE=2﹣


正确证明

OE 是 △ ABC 的中位线是


点评:本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理,


关键.









23.( 6 分)( 2014?无锡)为了解

助有多大?

”一研究员随机抽
取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查,

表示(图、表都没制作完成) .
选项

人数

帮助很大

a

帮助较大

543

帮助不大

269

几乎没有帮助
b
“数学思想作文对学习数学帮
并将调查得到的数据用下面的扇形图和表来
根据图、表提供的信息.
( 1)请问:这次共有多少名学生参与了问卷调查?
( 2)算出表中 a、 b 的值.
(注:计算中涉及到的 “人数 ”均精确到 1)

























考点 :扇形统计图;统计表.












分析:( 1)用 “帮助较大 ”的人数除以所占的百分比计算即可得解;

( 2)用参与问卷调查的学生人数乘以

根据总人数列式计算即可求出

b.
解答:解:( 1)参与问卷调查的学生人数

( 2) a=1244×25.40%=316 ,
“帮助很大 ”所占的百分比计算即可求出
a,然后
=543÷43.65%≈1244;


b=1244 ﹣316﹣ 543﹣ 269=1244 ﹣ 1128=116.
点评: 本题考查的是扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键.扇形 统计图直接反映部分占总体的百分比大小.






















24.( 10
分)( 2014?无锡)三个小球分别标有﹣ 2, 0, 1 三个数,这三个球除了标的数不同
外,其余均相同,将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.
(1)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后
再任意摸出一个小球, 再记下小球上所标之数,

求两次记下之数的和大于

树状图 ”或“列表 ”等方法给出分析过程,并求出结果)
(2)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后
再任意摸出一个小球,将小球上所标之数再记下,

,这样一共摸了 13 次.若记下的 13 个
0 的次数. 数之和等于﹣ 4,平方和等于 14.求:这 13 次摸球中,摸到球上所标之数是

考点 :列表法与树状图法.
专题 :图表型.
分析:( 1)根据题意画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解;
( 2)设摸出﹣ 2、 0、1 的次数分别为 x、y、 z,根据摸出的次数、 13 个是的和、平方和
列出三元一次方程组,然后求解即可.
解答:解:( 1)根据题意画出树状图如下:
0 的概率.(请用 “画
















所有等可能的情况数有


9 种,其中两次记下之数的和大于

0 的情况有 3 种,
则P==;




( 2)设摸出﹣ 2、0、 1 的次数分别为 x、 y、z,




由题意得,








③ ﹣ ② 得, 6x=18 ,
解得 x=3,
把 x=3 代入 ② 得,﹣ 2×3+z= ﹣4,
解得 z=2,






把 x=3 , z=2 代入 ① 得, y=8 ,






所以,方程组的解是





0 的次数为 8. 故摸到球上所标之数是

点评:此题考查了列表法与树状图法,

用到的知识点为: 概率 =所求情况数与总情况数之比,难
点在于( 2)列出三元一次方程组.





25.( 8 分)( 2014?无锡)( 1)如图 1,Rt△ ABC 中,∠ B=90 °, AB=2BC ,现以 C 为圆心、

CB
长为半径画弧交边


AC 于 D,再以 A 为圆心、
AD
为半径画弧交边
AB
于 E.求证:







=
























.(这个比值
叫做
AE

AB
的黄金比.)
(2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角
形.请你以图 2 中的线段 AB 为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形

(注: 直尺没有刻度!作图不要求写作法,但要求保留作图痕迹,

字母进行标注)
ABC .
并对作图中涉及到的点用
考点 :作图 —应用与设计作图;黄金分割.
分析:( 1)利用位置数表示出 AB , AC , BC 的长,进而得出 AE 的长,进而得出答案;
( 2)根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,画图即



可.解答:( 1)证明:∵ Rt△ABC 中,∠ B=90 °,AB=2BC ,
∴设 AB=2x , BC=x ,则 AC=

∴ AD=AE= ( ﹣ 1)x,


=

=


x,




( 2)解:底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,如图:




































点评:此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质,

根据已知得出底边作法是解题关
键.




2
26.(10 分)( 2014?无锡)如图,二次函数 y=ax +bx( a< 0)的图象过坐标原点 O,与 x 轴
A,过 A 点的直线与 y 轴交于 B,与二次函数的图象交于另一点 C,且 C
的负半轴交于点






























点的横坐标为﹣
1,AC : BC=3 : 1.
( 1)求点 A 的坐标;
与△ AED 相似,求此二次函数的关系式.

( 2)设二次函数图象的顶点为 F,其对称轴与直线 AB 及 x 轴分别交于点 D 和点 E,若△ FCD
考点 :二次函数综合题.
分析:( 1)过点 C 作 CM ∥ OA 交 y 轴于 M ,则 △ BCM ∽△ BAO ,根据相似三角形对应边
成比例得出

=

=

,即 OA=4CM=4 ,由此得出点

A 的坐标为(﹣

4, 0);


22
( 2)先将 A(﹣ 4,0)代入 y=ax+bx,化简得出 b=4a,即 y=ax+4ax,则顶点 F(﹣
2,﹣ 4a),设直线 AB 的解析式为 y=kx+n ,将 A (﹣ 4, 0)代入,化简得 n=4k ,即直线
AB 的解析式为 y=kx+4k ,则 B 点( 0, 4k),D(﹣ 2,2k),C(﹣ 1,3k).由 C

2
(﹣ 1, 3k)在抛物线 y=ax +4ax 上,得出 3k=a﹣ 4a,化简得到 k= ﹣ a.再由 △FCD
与直角 △AED 相似,则 △FCD 是直角三角形, 又∠ FDC= ∠ ADE < 90°,∠CFD < 90°,
2 2 2
得出∠ FCD=90 °,△ FCD ∽△ AED .再根据两点之间的距离公式得出
FC =CD =1+a

得出 △ FCD 是等腰直角三角形,则 △ AED 也是等腰直角三角形,所以∠ DAE=45 °,
由三角形内角和定理求出∠
OBA=45 °,那么 OB=OA=4 ,即 4k=4 ,求出 k=1, a=﹣ 1,
2
y= ﹣x﹣ 4x .
进而得到此二次函数的关系式为



解答:解:( 1)如图,过点 C 作 CM ∥OA 交 y 轴于 M .
∵ AC : BC=3 :1,
∴ = .
∵ CM∥OA,
∴△ BCM ∽△ BAO ,
∴ ===,
∴ OA=4CM=4 ,
∴点 A 的坐标为(﹣

4, 0);
2
( 2)∵二次函数 y=ax +bx (a< 0)的图象过

A 点(﹣ 4, 0),
∴ 16a﹣ 4b=0,
∴ b=4a,
2

∴ y=ax +4ax,对称轴为直线 x=﹣ 2,

∴ F 点坐标为(﹣ 2,﹣ 4a).

设直线 AB 的解析式为 y=kx+n ,将 A (﹣ 4,0)代入,
得﹣ 4k+n=0 ,

∴ n=4k ,

∴直线 AB 的解析式为 y=kx+4k ,

∴ B 点坐标为( 0, 4k),D 点坐标为(﹣ 2, 2k), C 点坐标为(﹣ 1,
2

∵ C(﹣ 1, 3k)在抛物线 y=ax +4ax
上,

∴ 3k=a﹣4a,
∴ k= ﹣ a.
∵△ AED 中,∠ AED=90 °,
∴若 △ FCD 与 △ AED 相似,则 △ FCD 是直角三角形,
∵∠ FDC= ∠ ADE < 90°,∠ CFD< 90°,
∴∠ FCD=90 °,
∴△ FCD ∽△ AED .
∵ F(﹣ 2,﹣ 4a),C(﹣ 1, 3k),D (﹣ 2, 2k), k= ﹣ a,
2 2 2 2 2 2
∴ FC =(﹣ 1+2 ) +( 3k+4a) =1+a

, CD =(﹣ 2+1) +( 2k﹣3k )
∴ FC=CD ,
∴△ FCD 是等腰直角三角形,
∴△ AED 是等腰直角三角形,
∴∠ DAE=45 °,
∴∠ OBA=45 °,
∴ OB=OA=4 ,
∴ 4k=4 ,
∴ k=1,
∴ a=﹣ 1,
∴此二次函数的关系式为
y= ﹣ x
2
﹣ 4x.
).
2 2


















3k












=1+a



































点评:本题是二次函数的综合题型, 其中涉及到相似三角形、 等腰直角三角形的判定与性质,
运用待定系数法求二次函数、一次函数的解 析式,两点之间的距离公式、抛物线对称
轴的求法,函数图象上点的坐标特征.综合性较强,有一定难度. ( 2)中得出 △FCD 是等
腰直角三角形是解题的关键.








27.(10 分)( 2014?无锡)某发电厂共有
量为 300 万千瓦 月.该
厂计划从今年 7 月开始到年底, 对 6 台发电机各进行一次改造升级.

台发电机当月停机, 并于次月再投入发电, 每台发电机改造升级后,

提高 20%.已知每台发电机改造升级的费用为

后算,该厂第 x( x 是正整数)个月的发电量设为

( 2)求 y 关于 x 的函数关系式;
y(万千瓦).
6 台发电机发电, 每台的发电
每月改造升级

1 台,这
每月的发电量将比原来
20 万元.将今年 7 月份作为第 1 个月开始往



( 1)求该厂第 2 个月的发电量及今年下半年的总发电量;
( 3)如果每发 1 千瓦电可以盈利 0.04 元,那么从第 1 个月开始,至少要到第几个月,这期
间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额

电机不作改造升级时的发电盈利总额

ω
1
(万元),将超过同样时间内发










ω
2
(万元)?
考点 :一次函数的应用.
分析:( 1)由题意可以知道第 1 个月的发电量是 300×5 千瓦,第 2 个月的发电量为

300×4+300
( 1+20% ),第 3 个月的发电量为

300×3+300×2×(1+20% ),第 4 个月的发电量为
300×2+300×3×( 1+20% ),第 5 个月的发电量为

( 2)由总发电量 =各台机器的发电量之和根据(

y=kx+b 建立方程组求出其解即可;
( 3)由总利润 =发电盈利﹣发电机改造升级费用,分别表示出 ω
1
,ω
2
,再根据条件建立
不等式求出其解即可.
解答:解:( 1)由题意,得
第 2 个月的发电量为: 300×4+300 (1+20% ) =1560 千瓦,
今年下半年的总发电量为: 300×5+1560+300 ×3+300×2×( 1+20%) +300×2+300
×3× ( 1+20% )+300×1+300×4×( 1+20%) +300 ×5×( 1+20%),
=1500+1560+1620+1680+1740+1800 ,
=9900 .
答:该厂第 2 个月的发电量为 1560 千瓦;今年下半年的总发电量为

9900 千瓦;
300×1+300×4×( 1+20% ),第 6 个月的
发电量为

300×5×(1+20% ),将 6 个月的总电量加起来就可以求出总电量.
1)的结论设 y 与 x 之间的关系式为









( 2)设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b ,由题意,得











解得:



∴ y=60x+1440 ( 1≤x≤6).



( 3)设到第

n 个月时 ω
1
> ω
2

当 n=6 时, ω
1
=9900×0.04﹣ 20×6=276, ω
2
=300 ×6×6×0.04=432 , ω
1
> ω
2

不符合. ∴ n> 6.






∴ ω
1
=[9900+360

×6(

n﹣

6)

]

×0.04﹣

20×6=86.4n

﹣240,
ω
2
=300×6n×0.04=72n


86.4a﹣ 122.4> 72a,


ω
1


ω
2
时,

86.4n﹣240>

72n,解之得

n> 16.7,∴ n=17 .
答:至少要到第

17 个月 ω
1
超过 ω
2

点评:本题考查了一次函数的运用,列一元一次不等式解实际问题的运用,总利润

=发电盈利﹣发电
机改造升级费用,解答时求出一次函数解析式是解答本题的关键.















































28.( 10 分)( 2014?无锡)如图 1,已知点 A ( 2, 0),B ( 0, 4),∠ AOB 的平分线交
AB 于 C,一动点 P 从 O 点出发,以每秒 2 个单位长度的速度,沿 y 轴向点 B 作匀速运动,过
点 P 且平行于 AB 的直线交 x 轴于 Q,作 P、Q 关于直线
时间为 t( 0< t< 2)秒.
(1)求 C 点的坐标,并直接写出点

M 、 N 的坐标(用含

t 的代数式表示) ;
S.
OC 的对称点

M、 N .设 P 运动的
(2)设 △ MNC 与 △ OAB 重叠部分的面积为

① 试求 S 关于 t 的函数关系式;
② 在图 2 的直角坐标系中,画出 S 关于 t 的函数图象,并回答:

S 是否有最大值?若有,写
出 S 的最大值;若没有,请说明理由.
考点 :相似形综合题
分析:( 1)如答图 1,作辅助线,由比例式求出点

D 的坐标;
( 2) ① 所求函数关系式为分段函数,需要分类讨论.
答图 2﹣1,答图 2﹣ 2 表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化,分别求解;
② 画出函数图象,由两段抛物线构成.观察图象,可知当

t=1 时, S 有最大值.
解答:解:( 1)如答图 1,过点 C 作 CF⊥ x 轴于点 F, CE⊥ y 轴于点 E,






由题意,易知四边形





























OECF 为正方形,设正方形边长为

x.
∵ CE∥ x 轴,


















,即 ,解得
x=



∴ C
点坐标为(


);
∵ PQ∥ AB ,





,即








∴ OP=2OQ .
∵ P( 0,2t),
∴ Q( t,0).
∵对称轴 OC 为第一象限的角平分线,
∴对称点坐标为:

M ( 2t, 0), N( 0, t).
( 2)① 当 0<t ≤1 时,如答图 2﹣ 1 所示,点 M 在线段 OA 上,重叠部分面积为

S

CMN





























S
S

CMN
=S
四边形

CMON


OMN
=( S
△COM
+S
△CON
)﹣ S
△OMN




=( ?2t×
+
?t× )﹣
?2t?t
=﹣ t +2t ;


当 1< t< 2 时,如答图 2﹣ 2 所示,点
M 在OA
的延长线上,设
MN

AB
交于点
D,
2






则重叠部分面积为






S

CDN

y=kx+b ,将 M ( 2t, 0)、 N( 0, t)代入得

, 设直线 MN 的解析式为
解得






∴ y= ﹣ x+t ;


同理求得直线
AB 的解析式为: y= ﹣ 2x+4.
联立 y=﹣ x+t 与 y=﹣ 2x+4,求得点 D 的横坐标为


S


△CDN
=S
△BDN

S
△BCN


= ( 4﹣ t) ? ﹣ ( 4﹣ t) ×
2
= t﹣ 2t+







综上所述, S=






② 画出函数图象,如答图





















2﹣3 所示:
观察图象,可知当




t=1 时, S 有最大值,最大值为

1.
点评:本题是运动型综合题, 涉及二次函数与一次函数、 待定系数法、 相似、图形面积计算、
动点问题函数图象等知识点.难点在于第(

题的关键.
2)问,正确地进行分类讨论,是解决本

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