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透视图公式交集、并集、补集、全集

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-19 10:35
tags:补集公式

元日中的元是什么意思-微信的名字

2020年10月19日发(作者:饶兴)
交集、并集、
补集、全集
一、学习内容:

1.
理解交集、并集、全集与补集的概念。
2.熟悉交集、并集、补集的性质,熟练进行交、并、补的运算
二、例题
第一阶梯
例1、什么叫集合A、B的交集?并集?
答案:
交集:A∩B={x | x∈A , 且x∈B}
并集:A∪B={x | x∈A , 或x∈B}
说明:
上面用描述法给出的交集、并集的定义,要特别注意逻辑联结词且、
或的准确意义,在交集中
用且在并集中用或交、并运算有下列推论:

例2、什么叫全集?补集?
答案:
在研究集合与集合的关系时,相对于所研究的问题,存在一个集合I,
使得问题中的所有集合都是I的
子集,我们就把集合I看作全集,全集通常用I表示。

补集:
说明:

全集和补集都是相对的概念。全集相对于所研究的问题,我们可以适当
地选取全集,而补集又相对于
全集而言。如果全集改设了,那么补集也随之而改变。为了简化问题可
以巧设全集或改设全集,选
取全集成为解题的巧妙方法。
补运算有下列推论:①;②;③。
例3、(1)求证: , 。
(2)画出下列集合图(用阴影表示):


提示:
(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成:第一步证明由x∈M
∈P;第二步证明由x∈P
Tx∈M 。
(2)利用(1)的结果画③、④。
答案:
T x
; ②; ③; ④



说明:

(1)中的两个等式是集合的运算定律,很容易记住它,解题时可以 应用
它。这个证明较难,通常不作
要求。
但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。
(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。图(1)叫做左月牙,
图2叫做右月牙。画图3、
图4时要利用集合的两个运算律来画。

第二阶梯
例1、已知A={x | 2x
4
+5x
3
-3x
2
=0},B={x | x
2
+2|x|-15=0},求A∩B,A∪B。
[提示]
先用列举法化简集合A和B。
[答案]
由2x
4
+5x
3
-3x
2
=0得x=0,或2x
2
+5x-3=0,
∴x=0,或x=-3,或x=,
∴A={-3,0, }
由x
2
+2|x|-15=0得|x|=3或|x|=-5,
∴x= ±3,即得B={-3,3}。
∴A∩B={-3},A∪B={-3,0, ,3}
例2、设全集I={2,3,a2+2a-3} , A={2 , |2a-1|} , ={5} , 求实数a的
值。
答案:

说明:


例3、设全集I={1,2,3,…9},
2,3,5,6,7,8},
={3,8}, ={2,5},={1,
求集合A,B。
[答案]


说明:

例4、设A={x | x>5或x<-1} , B={x | a≤x≤a+3},试问实数a为何值时,
(1) A∩B=φ;(2) A∩B≠φ;(3) AB。
答案:


说明:
数形结合在集合中有两个方法:一是画集合图,如例3;二是利用坐标
系,如本例画数轴(数轴是
一维的坐标系)。这两个方法总括为集合的图示法,即寻求集合与图形
的对应,找到直觉。从而把
抽象的集合问题具体化和形象化
此外,本题之(二)的解法是补集法,省去了多少烦恼!

第三阶梯:
例1、设全集I={(x , y) | x , y∈R},集合M={(x , y) |
y) |y=3x-2},那
么 等于( )。
},N={(x ,
(A) φ (B) (2 , 4) (C) {(2 ,
4)} (D) N
提示:
先等价化简集合M,再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系。
答案:

∴M={(x , y)| y=3x-2,且x≠2},
∴N=M∪{(2 , 4)}

说明:
本题是数形结合法的范例,用点集来理解抽象的集合M、N的关系就
十分清晰、直观。解题的关键是
分清M和N的关系,当找到N=M∪{(2 , 4)}时,问题便迎刃而解。此外,注意
单元素集合{(2,4)}和元素
(2, 4)不同,所以选(B)是错误的。
例2、据统计我校高中一年级的100名学生中,爱好体育的学 生有75人,爱好
文艺的学生有56人,试问文
艺、体育都爱好的学生最多有多少人?最少有多少人?
提示:
利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系。
答案:
设A={爱好体育的学生},B={爱好文艺的学生},
则A∩B={文艺、体育都爱好的学生},
A∪B={爱好文艺或爱好体育的学生}。
我们把有限集合M的元素个数记作card(M),card(A)=75,
card(B)=56,card(A∩B)=y , card(A∪B)=x。于是由集合图(图7)
得 x=75+56-y (75≤x≤100)
即 y=131-x (75≤x≤100)
∴31≤y≤56。
={(2 , 4)},故选(C)。
答:文艺、体育都爱好的学生最多有56人,最少有31人。
说明:
关于有限集合的并、交的元素个数的问题,用图解法解决具有无比的
优越性。
一般地,对于任意两个有限集合A , B有
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩
B).
其道理可由图8看出来。
对于任意的三个有限集合A,B,C,有
card(A∪B∪C)
=card(A)+card(B)+card(C)- card(A∩B)-
card(B∩C)- card(C∩A)+ card(A∩B∩C)
其道理可由图9看出来。



三、练习题
A组
一、选择题
(1.已知全集I={0,-1 ,-2 ,-3 ,-4},集合M={0,1,-2},N ={0,-3,-4},
则=
A.{0} B.{-3,-4} C.{-1,-
2} D. φ
(2.设全集为R,集合M={x | f(x)=0},P={x | g(x)=0},S={x | h(x)=0},则
方程
的解集是( )
A. M∩P∩N B.M∩P C.M∩P∩
S D.M∩P∩
(3.已知集合P、M满足P∩M={1,2 },P∪M={1,2,3,4,5},全集I=N,则(P
∪M)∩( )为( )
A.{1,2,3} B.{2,3,4} C.{3,4,
5} D.{1,4,5}
(4.设I是全集,集合P、Q满足P∈Q,则下面结论中错误的是
A.P∪Q=Q B. C. D.
(5.满足{1,2}∪M={1,2,3}的所有集合M有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
二、填空题
1、设A={梯形} ,B={平行四边形},C={矩形},D={菱形},E={正方形},则(A∩
B) ∪(B∩C)∪(D∪E)=
.
2、设x,y∈R,集合A= {(x,y)|4x-y-3=0},B={(x,y)|2x-3y+11=0} , 则A∩
B= .
3、全集I={1,2,3,4},子集A和B满足:
则A= 。
4、集合A={1,x
2
},且 ={1,3,x},则实数x的取值范围
={1},A∩B={3}, ={2},
是 。
5、某班48名学生中,有13人爱打篮球又爱唱歌,有29人不爱唱歌,有16人
不爱打 篮球。则不爱打篮球
又不爱唱歌的学生数为 。
答案:
一、
选择题
1—5 B,D,C,D,D
二、填空题
1、D
2、{(2 , 5)}
3、{3 , 4}
4、{0 , -
5、10

B组
一、选择题
1.集合{1,2,3}的子集共有( )
A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
2.下列命题或记法中正确的是( )
A.R
+
∈R B.Z
-
, }
{x|x0,x∈Z}
C.空集是任何集合的真子集 D.
3.同时满足{1}A
的个数是( )
{1,2,3,4,5},且A中所有元素之和为奇数的集合A
A.5 B.6 C.7 D.8
4.设A={x|1 A. B.
B,则a的取值范围是( )
D. C.
5.六个关系式:(1){a,b}={b,a};(2){a,b}
(5){0};
{b,a};(3);(4){0}=;
(6)0∈{0}。其中正确的个数为( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个及3个以下
6.集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3l+1,l∈Z },S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的
关系是( )
A.S
二、填空题
PM B.S=PM C.SP=M D.SP=M
7.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若QP,那么a的值 是________。
8.设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x是平行四 边形},则
CsA=________.
9.求满足条件{x|x2+1=0,x∈R}的集合M的个数。
答案:
一、1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C
二、7.0、或—1 8.{x|x是梯形}
9.{x| x
2
+1=0,x∈R}=,又{x|x
2
-1=0,x∈R}={-1,1 },其非空子集为
{-1},{1},{-1,1}。
所以满足条件{x|x
2
+1=0,x∈R}
个.

M{x|x
2
-1=0}的集合M共3

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