雷莱公式第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程第1课时公式法

2020年10月20日发(作者：谷沅)

3 第1课时 公式法
知识点 1 一元二次方程的求根公式
1．用公 式法解－
x
＋3
x
＝1时，需先求出
a
，
b
，
c
的值，则
a
，
b
，
c
依次为( )
2
A．－1，3，－1 B．1，－3，－1
C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
2．用公式法解方程3
x
2
＋4＝12
x
，下列代入公式正确的是(
2
A．
x
＝
12± 12－3×4
2×3

2
B．
x
＝
－12± 12－4×3×4
2

2
C．
x
＝
－（－12）± 12＋4×3×4
2

2
D．
x
＝
－（－12）± （－12）－4×3×4
2×3

知识点 2 用公式法解一元二次方程
3．方程
x
2
＋3
x
－14＝0的解是( )
A．
x
＝
3±65－3±65
2
B．
x
＝
2

C．
x
＝
3±23－3±23
2
D．
x
＝
2

4．2017·都匀期末方程2
x
2
－4
x
＋1＝0的根是( )
A．
x
1
＝1＋2，
x
2
＝1－2
B．
x
1
＝2＋2 2，
x
2
＝2－2 2 C．
x
1
＝1＋
2
2
，
x
2
2
＝1－
2

D．
x
1
＝2＋2，
x
2
＝2－2
5．用公式法解方程：(1)
x
2
－2
x
＝1；

)
1






(2)4
x
－3＝12
x
.





知识点 3 一元二次方程根的判别式
6．2017·广元方程2
x
－5
x
＋3＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．两根异号
7．2017·安顺若关于
x
的方程
x
＋< br>mx
＋1＝0有两个不相等的实数根，则
m
的值可以是
( )
A．0 B．－1
C．2 D．－3
8．2017·长春若关于
x< br>的一元二次方程
x
＋4
x
＋
a
＝0有两个相等的实数 根，则
a
的值
是________．
9．2017·潍坊若关于
x
的一元二次方程
kx
－2
x
＋1＝0有实数根，则
k
的取值范围是
________．

10．已知关于
x
的方程
x
＋2
kx
－1＝0有两个不相等的实数根，则
k
的取值范围是
( )

2
2
2
2
2
2
2

A．
k
≥0 B．
k
＞0
C．
k
≥－1 D．
k
＞－1
11．2017·锦州关 于
x
的一元二次方程
x
＋4
kx
－1＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程
x
－12
x
＋35＝0的根，则该
三角形的周长是( )
A．14 B．12
C．12或14 D．以上都不对
13．2017·通辽若关于
x的一元二次方程(
k
＋1)
x
＋2(
k
＋1)
x
＋
k
－2＝0有实数根，则
2
2
2
k
的 取值范围在数轴上表示正确的是( )

图2－3－1

14．中国古 代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四
步，只云长阔共六十步，问长 多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只
知道它的长与宽共60步，问它的长比宽 多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )
A．12步 B．24步
C．36步 D．48步
15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使
a
*
b
＝(
a
＋1)－
ab
，则方程(
x
＋2)*5＝0
的解为( )
A．
x
＝－2
B．
x
1
＝－2，
x
2
＝3
－1＋3－1－3
C．
x
1
＝，
x
2
＝
22

3
2

－1＋5－1－5
D．
x
1
＝，
x
2
＝
22
16．已知关于
x
的方程
x
＋(2
m
－1)
x
＋4＝0有两个相等的实数根，求
m
的值．









17．已知关于
x
的一元二次方程
x
－2(
m
＋1)
x
＋
m
＝0.
(1)当
m
取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)为
m
选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．









1 8．已知关于
x
的一元二次方程(
a
＋
c
)
x＋2
bx
＋(
a
－
c
)＝0，其中
a
，
b
，
c
分别为△
ABC
三边的长．

4
2
22
2

(1)如果
x
＝－1是方 程的根，试判断△
ABC
的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△
ABC
的形状，并说明理由；
(3)如果△
ABC
是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．










5


1．A .
2．D ．
3．B
4．C [
5．解：(1)
x
2
－2
x
－1＝0，
2
x
＝
2±（－2）－4×1×（－1）
2×1
＝1±2，
∴
x
1
＝1＋2，
x
2
＝1－2.
(2)4
x
2
－12
x
－3＝0，
12±（－1 2）
2
x
＝
－4×4×（－3）
2×4

＝
12±8 3
8

＝
3±2 3
2
，
∴
x
33
1
＝
2
＋3，
x
2＝
2
－3.
6．B
7．D .
8．4
9．
k
≤1且
k
≠0
10．A
11．A．
12．B
13．A 14．A
15．D
6




16．解：∵关于
x
的方程
x
＋(2
m
－1)
x
＋4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2
m
－1)－4×1×4＝0，
∴2
m
－1＝±4，
53
∴
m
＝或
m
＝－.
22
17．解： (1)∵关于
x
的一元二次方程
x
－2(
m
＋1)
x
＋
m
＝0有两个不相等的实数根，
22
2
2
∴ Δ＞0，即[－2(
m
＋1)]
2
－4
m
2
＞0，
解得
m
＞－
1
2
.
(2)∵
m
＞－
1
2
2
，∴可取
m
＝0，此时方程为
x
－2
x
＝0，
解得
x
1
＝0，
x
2
＝2.(答案不唯一)
18．解：(1)△
ABC
是等腰三角形．
理由：∵
x
＝－1是方程的根，
∴(
a
＋
c)×(－1)
2
＋2
b
×(－1)＋(
a
－
c
)＝0，
∴
a
＋
c
－2
b
＋
a
－
c
＝0，∴
a
－
b
＝0，
即
a
＝
b
，
∴△
ABC
是等腰三角形．
(2)△
ABC
是直角三角形．
理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴(2
b
)
2
－4(
a
＋
c
)(a
－
c
)＝0，
∴4
b
2
－4
a< br>2
＋4
c
2
＝0，
即
a
2
＝
b
2
＋
c
2
，
∴△
ABC
是直角三角形．
(3)当△
ABC
是等边三角形时，
(
a
＋
c< br>)
x
2
＋2
bx
＋(
a
－
c
)＝0可整理为2
ax
2
＋2
ax
＝0，
7


∴
x
＋
x
＝0，
解得
x
1
＝0，
x
2
＝－1.


2

8