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原型法公式高中数学两角和与差的三角函数公式的证明

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-20 10:03
tags:两角和公式证明

苯能使高锰酸钾褪色吗-重庆日常用语300句

2020年10月20日发(作者:梅谷)

两角和与差的三角函数公式的证明

三角函数
两角和与差
单位圆
托勒密定理
数学

利用单位圆方法证明
sin(α+β)= …

与cos(α+β)= …,是进一步证
明大部分三角函数公式的基础。

1、sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ
在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆,在单位圆中作以下线段:

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如图中所示,容易看出:
sin(α+β)=CF;sinα=AB;cosα=OB; sinβ=CD;cosβ=OD
则:


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平面几何的证明方法:如图所示,过程见下面的【评论】中新浪网友的提示
.

(非常感谢这位网友的提示,让我们看到了证明一个定理的多种途径,真是妙不
可言!)


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附:如何证明托勒密定理?
见 http:
http:

托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线
的乘积 。
原文:圆内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面
积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、 余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密
定理实质上是关于共圆性的基本性质.(具体的推导方法 详见数学目录下的博文,
来自网友的提供!)

.


思路:托勒密定理在平面几何中赫赫有名,其难点在于:把一条对角线分割成两
条线段DE和B E。第一步证明一对旋转的三角形相似:△ABE∽△ACD;第二步还
需要证一对旋转的三角形相似△ ADE∽△ACB;只有这两对相似的三角形出来了才
能得到结论。

证明:以AB为边,作一个角等于已知角:即∠BAE=∠DAC;
在ΔABE和ΔACD中,
∵ ∠BAE=∠DAC;
∠ABE=∠ACD;
∴ △ABE∽△ACD;
∴ AB·DC=BE·AC ①
∵ ∠BAE=∠DAC;
∴ ∠DAE=∠CAB;
在ΔADE和ΔACB中,
∵ ∠ADE=∠ACB;
.

∠DAE=∠CAB;
∴ △ADE∽△ACB;
∴ AD·BC=DE·AC ②
∴ ①+②得:
AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=(BE+DE)·AC=BD·AC。

结论:该命题对于圆内接的任意四边 形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的,
叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=A C·BD这样的等积式时,如果等
式左边可以合二为一,则考虑证一对三角形相似,否则,在AC、BD 的其中一条
线段上找到一个分点,构造两个三角形相似。”

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